scienceonline Steem Profile

@scienceonline

Scienze Matematiche Fisiche e Naturali

steemit.com/@scienceonline

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STEEM

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2023/11/28 13:52:33 UTC

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2023/11/26 04:26:00 UTC

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2023/11/19 11:21:42 UTC

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2023/11/19 04:25:57 UTC

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2023/11/14 10:47:21 UTC

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2023/11/12 13:17:36 UTC

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scienceonlinereceived 0.070 STEEM from power down installment (0.075 SP)

2023/11/12 04:25:57 UTC

79,806,515|virtual

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2023/11/05 04:25:57 UTC

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2023/11/02 19:51:51 UTC

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2023/11/02 19:49:39 UTC

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scienceonlineclaimed reward balance: 0.014 STEEM, 0.215 SBD, 0.160 SP

2023/11/02 19:49:03 UTC

79,539,327|ad329cf

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Transaction Info	Block #79539327/Trx ad329cf2b32ac76db157dd84dbb269f0055d2251

View Raw JSON Data

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steemdelegated 5.244 SP to @scienceonline

2023/09/22 10:20:51 UTC

78,362,812|4188da4

delegator	steem
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Transaction Info	Block #78362812/Trx 4188da4c74d26baef1afee11f24bbdf0146bf646

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steemdelegated 5.380 SP to @scienceonline

2022/11/03 17:48:27 UTC

69,120,552|462bd0e

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delegatee	scienceonline
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Transaction Info	Block #69120552/Trx 462bd0e28c986fd736ce0a4500708036335480d3

View Raw JSON Data

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steemdelegated 5.380 SP to @scienceonline

2022/11/03 17:48:27 UTC

69,120,552|462bd0e

delegator	steem
delegatee	scienceonline
vesting shares	8761.353743 VESTS
Transaction Info	Block #69120552/Trx 462bd0e28c986fd736ce0a4500708036335480d3

View Raw JSON Data

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steemdelegated 5.515 SP to @scienceonline

2022/01/17 23:00:18 UTC

60,823,799|fc9bcc2

delegator	steem
delegatee	scienceonline
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Transaction Info	Block #60823799/Trx fc9bcc27196ebe17b6309c74fd608f4434c5edf9

View Raw JSON Data

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steemdelegated 5.629 SP to @scienceonline

2021/06/14 06:11:27 UTC

54,614,128|d6f30c0

delegator	steem
delegatee	scienceonline
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Transaction Info	Block #54614128/Trx d6f30c0bd40f758a7fd4adeb462af8e104fac43b

View Raw JSON Data

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steemdelegated 5.744 SP to @scienceonline

2020/12/11 16:23:45 UTC

49,361,395|ef0a73c

delegator	steem
delegatee	scienceonline
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Transaction Info	Block #49361395/Trx ef0a73c41ca541d3a2ed3fc542ceb6b03e814562

View Raw JSON Data

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steemdelegated 1.174 SP to @scienceonline

2020/12/06 09:59:30 UTC

49,212,916|d1861cf

delegator	steem
delegatee	scienceonline
vesting shares	1912.543513 VESTS
Transaction Info	Block #49212916/Trx d1861cf84787f96bffc2aff3ad7698e4f2df1eea

View Raw JSON Data

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steemdelegated 5.747 SP to @scienceonline

2020/12/05 20:01:36 UTC

49,196,478|fd1f68d

delegator	steem
delegatee	scienceonline
vesting shares	9359.285460 VESTS
Transaction Info	Block #49196478/Trx fd1f68d46f4aa04dd548c3c057ff97999f2c35aa

View Raw JSON Data

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steemdelegated 1.179 SP to @scienceonline

2020/11/03 02:34:12 UTC

48,270,672|925195f

delegator	steem
delegatee	scienceonline
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Transaction Info	Block #48270672/Trx 925195f8072b6e89d4675e89aa23423b19ba31d3

View Raw JSON Data

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}

steemdelegated 5.872 SP to @scienceonline

2020/05/09 11:02:24 UTC

43,223,241|35445e8

delegator	steem
delegatee	scienceonline
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Transaction Info	Block #43223241/Trx 35445e80d5f315b31637ada0de835ff1a62dc17b

View Raw JSON Data

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}

steemdelegated 1.200 SP to @scienceonline

2020/05/08 15:26:18 UTC

43,200,279|e8e3cad

delegator	steem
delegatee	scienceonline
vesting shares	1953.311140 VESTS
Transaction Info	Block #43200279/Trx e8e3cadeb40618f3a566914e3369e7a01e6eadc0

View Raw JSON Data

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dtubesent 0.001 STEEM to @scienceonline- "Time is running out, claim your DTube account now before anyone else can! Login at https://d.tube"

2019/08/22 17:25:36 UTC

35,780,920|b4f9d51

from	dtube
to	scienceonline
amount	0.001 STEEM
memo	Time is running out, claim your DTube account now before anyone else can! Login at https://d.tube
Transaction Info	Block #35780920/Trx b4f9d510feb8543abb3546b88c0b0a2927649fb2

View Raw JSON Data

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steemdelegated 5.979 SP to @scienceonline

2019/07/11 08:24:24 UTC

34,563,622|5d316a9

delegator	steem
delegatee	scienceonline
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Transaction Info	Block #34563622/Trx 5d316a9aae0d62bfa77098dd18baf414852f0c84

View Raw JSON Data

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}

steemitboardreplied to @scienceonline / steemitboard-notify-scienceonline-20190402t121205000z

2019/04/02 12:12:06 UTC

31,692,488|f7fc45a

parent author	scienceonline
parent permlink	sito-web-a79f34a91f428
author	steemitboard
permlink	steemitboard-notify-scienceonline-20190402t121205000z
title
body	Congratulations @scienceonline! You received a personal award! <table><tr><td>https://steemitimages.com/70x70/http://steemitboard.com/@scienceonline/birthday1.png</td><td>Happy Birthday! - You are on the Steem blockchain for 1 year!</td></tr></table> <sub>_You can view [your badges on your Steem Board](https://steemitboard.com/@scienceonline) and compare to others on the [Steem Ranking](http://steemitboard.com/ranking/index.php?name=scienceonline)_</sub> ###### [Vote for @Steemitboard as a witness](https://v2.steemconnect.com/sign/account-witness-vote?witness=steemitboard&approve=1) to get one more award and increased upvotes!
json metadata	{"image":["https://steemitboard.com/img/notify.png"]}
Transaction Info	Block #31692488/Trx f7fc45ab498e41a170cb67e70811d2950931f308

View Raw JSON Data

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      "title": "",
      "body": "Congratulations @scienceonline! You received a personal award!\n\n<table><tr><td>https://steemitimages.com/70x70/http://steemitboard.com/@scienceonline/birthday1.png</td><td>Happy Birthday! - You are on the Steem blockchain for 1 year!</td></tr></table>\n\n<sub>_You can view [your badges on your Steem Board](https://steemitboard.com/@scienceonline) and compare to others on the [Steem Ranking](http://steemitboard.com/ranking/index.php?name=scienceonline)_</sub>\n\n\n###### [Vote for @Steemitboard as a witness](https://v2.steemconnect.com/sign/account-witness-vote?witness=steemitboard&approve=1) to get one more award and increased upvotes!",
      "json_metadata": "{\"image\":[\"https://steemitboard.com/img/notify.png\"]}"
    }
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}

steemdelegated 6.101 SP to @scienceonline

2018/07/22 15:00:15 UTC

24,401,666|72e70e1

delegator	steem
delegatee	scienceonline
vesting shares	9934.769656 VESTS
Transaction Info	Block #24401666/Trx 72e70e1477a4c1a40383ffde89c95ebf38c36bda

View Raw JSON Data

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flagfixerreplied to @scienceonline / flagfixer-re-scienceonlinesito-web-a79f34a91f428

2018/07/18 18:12:45 UTC

24,290,409|61ec0de

parent author	scienceonline
parent permlink	sito-web-a79f34a91f428
author	flagfixer
permlink	flagfixer-re-scienceonlinesito-web-a79f34a91f428
title
body	@scienceonline you were flagged by a worthless gang of trolls, so, I gave you an upvote to counteract it! Enjoy!!
json metadata
Transaction Info	Block #24290409/Trx 61ec0ded71a1dafb9c27aa3a3ad1d5d0b47f7528

View Raw JSON Data

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      "permlink": "flagfixer-re-scienceonlinesito-web-a79f34a91f428",
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      "body": "@scienceonline you were flagged by a worthless gang of trolls, so, I gave you an upvote to counteract it!  Enjoy!!",
      "json_metadata": ""
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flagfixerupvoted (2.00%) @scienceonline / sito-web-a79f34a91f428

2018/07/18 18:12:24 UTC

24,290,402|d0c11b3

voter	flagfixer
author	scienceonline
permlink	sito-web-a79f34a91f428
weight	200 (2.00%)
Transaction Info	Block #24290402/Trx d0c11b3cdf375104a2b00d8a9cac3bd4a8befbe8

View Raw JSON Data

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  ]
}

dertlucflagged (-100.00%) @scienceonline / sito-web-a79f34a91f428

2018/07/18 18:06:30 UTC

24,290,284|4355089

voter	dertluc
author	scienceonline
permlink	sito-web-a79f34a91f428
weight	-10000 (-100.00%)
Transaction Info	Block #24290284/Trx 435508973cedb3f9012f246800cad8eee8b4224d

View Raw JSON Data

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coolanalpflagged (-100.00%) @scienceonline / sito-web-a79f34a91f428

2018/07/17 17:20:33 UTC

24,260,600|cb4ab79

voter	coolanalp
author	scienceonline
permlink	sito-web-a79f34a91f428
weight	-10000 (-100.00%)
Transaction Info	Block #24260600/Trx cb4ab7932dba0c27db8389448343fa516e25ce2b

View Raw JSON Data

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botabuserreportsflagged (-100.00%) @scienceonline / sito-web-a79f34a91f428

2018/07/16 15:06:21 UTC

24,229,150|ed68884

voter	botabuserreports
author	scienceonline
permlink	sito-web-a79f34a91f428
weight	-10000 (-100.00%)
Transaction Info	Block #24229150/Trx ed68884eeaa40143c66d997d2eb59e357e0aee1f

View Raw JSON Data

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icebergbitosflagged (-100.00%) @scienceonline / sito-web-a79f34a91f428

2018/07/14 13:09:57 UTC

24,169,230|e2b541c

voter	icebergbitos
author	scienceonline
permlink	sito-web-a79f34a91f428
weight	-10000 (-100.00%)
Transaction Info	Block #24169230/Trx e2b541c32bc25f7b7065c50f9baa50bb7db1481c

View Raw JSON Data

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    }
  ]
}

scottcbusinesssent 0.001 SBD to @scienceonline- "Hey @scienceonline! I really appreciate your support and now that I am officially running as a witness, I wanted to share this with you and officially announce it. Thanks you so much :)"

2018/05/17 09:26:54 UTC

22,505,636|bf8ac78

from	scottcbusiness
to	scienceonline
amount	0.001 SBD
memo	Hey @scienceonline! I really appreciate your support and now that I am officially running as a witness, I wanted to share this with you and officially announce it. Thanks you so much :)
Transaction Info	Block #22505636/Trx bf8ac78080523debff12c6f4060a87435bdb0f72

View Raw JSON Data

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  ]
}

scottychamssent 0.001 SBD to @scienceonline- "Hey @scienceonline! I wanted to re-thank you for being a supporter and a follower of me and my music! You are awesome :)"

2018/05/14 01:59:33 UTC

22,410,302|1994be0

from	scottychams
to	scienceonline
amount	0.001 SBD
memo	Hey @scienceonline! I wanted to re-thank you for being a supporter and a follower of me and my music! You are awesome :)
Transaction Info	Block #22410302/Trx 1994be0bb6093d4299e9525eb3858d0c26bb67a8

View Raw JSON Data

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ax3upvoted (1.00%) @scienceonline / sito-web-a79f34a91f428

2018/04/22 12:40:27 UTC

21,790,293|fac048c

voter	ax3
author	scienceonline
permlink	sito-web-a79f34a91f428
weight	100 (1.00%)
Transaction Info	Block #21790293/Trx fac048ce79cf7c20e14ce79b9bd20947cbc048e5

View Raw JSON Data

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    }
  ]
}

scienceonlineupdated options for sito-web-a79f34a91f428

2018/04/22 12:40:15 UTC

21,790,289|ea12ca3

author	scienceonline
permlink	sito-web-a79f34a91f428
max accepted payout	1000000.000 SBD
percent steem dollars	10000
allow votes	true
allow curation rewards	true
extensions	[[0,{"beneficiaries":[{"account":"esteemapp","weight":1000}]}]]
Transaction Info	Block #21790289/Trx ea12ca3e5b55a728561f9371e45ac46ffd05d73e

View Raw JSON Data

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        ]
      ]
    }
  ]
}

scienceonlinepublished a new post: sito-web-a79f34a91f428

2018/04/22 12:40:15 UTC

21,790,289|ea12ca3

parent author
parent permlink	siti
author	scienceonline
permlink	sito-web-a79f34a91f428
title	Sito web
body	Ciao buona domenica ... Il mio sito di scienze ☺️ https://www.scienceonline.it
json metadata	{"links":["https://www.scienceonline.it"],"image":[],"tags":["siti","natura","scienza","news"],"app":"esteem/1.6.0","format":"markdown+html","community":"esteem"}
Transaction Info	Block #21790289/Trx ea12ca3e5b55a728561f9371e45ac46ffd05d73e

View Raw JSON Data

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scienceonlineupvoted (100.00%) @kenshiu23 / meme-battle-water

2018/04/18 05:51:21 UTC

21,666,930|e0ae98f

voter	scienceonline
author	kenshiu23
permlink	meme-battle-water
weight	10000 (100.00%)
Transaction Info	Block #21666930/Trx e0ae98fecce4e55c4cdf918b3bc29fb52aa2fbda

View Raw JSON Data

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  ]
}

scienceonlineupvoted (100.00%) @rizal-sahabat / ilmu-tajwid-dalam-bercinta

2018/04/18 05:51:18 UTC

21,666,929|59ffcae

voter	scienceonline
author	rizal-sahabat
permlink	ilmu-tajwid-dalam-bercinta
weight	10000 (100.00%)
Transaction Info	Block #21666929/Trx 59ffcae2a6b42c8a058097fae96427cc6a750ce7

View Raw JSON Data

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    "vote",
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    }
  ]
}

scienceonlineupvoted (100.00%) @futureshock / 87f82000-3f7c-11e8-9b3d-0f0ee12e30d8

2018/04/18 05:51:15 UTC

21,666,928|2769c5e

voter	scienceonline
author	futureshock
permlink	87f82000-3f7c-11e8-9b3d-0f0ee12e30d8
weight	10000 (100.00%)
Transaction Info	Block #21666928/Trx 2769c5ec851391626c8dec8d641073c6a5c5fe6f

View Raw JSON Data

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reclennioupvoted (100.00%) @scienceonline / introduzione-alla-matematica-babilonese

2018/04/17 23:59:27 UTC

21,659,892|f9f16c2

voter	reclennio
author	scienceonline
permlink	introduzione-alla-matematica-babilonese
weight	10000 (100.00%)
Transaction Info	Block #21659892/Trx f9f16c2e0f751fbcf95aa6d4168f7b5c63a715bc

View Raw JSON Data

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}

scienceonlineupvoted (100.00%) @exxodus / ethereum-battle-continues-with-upper-resistance-usd520-support-usd490-and-usd420

2018/04/17 15:36:39 UTC

21,649,836|32e9cf6

voter	scienceonline
author	exxodus
permlink	ethereum-battle-continues-with-upper-resistance-usd520-support-usd490-and-usd420
weight	10000 (100.00%)
Transaction Info	Block #21649836/Trx 32e9cf692b91ac9f7c9c79b0e1d0dcb087b95a53

View Raw JSON Data

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  ]
}

scienceonlinefollowed @exxodus

2018/04/17 15:36:24 UTC

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Transaction Info	Block #21649831/Trx c5782f8af64e8b6b77f04e4c202db39ced7fbcf9

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scienceonlineupvoted (100.00%) @exxodus / re-scienceonline-introduzione-alla-matematica-babilonese-20180417t153441727z

2018/04/17 15:36:15 UTC

21,649,828|afa562f

voter	scienceonline
author	exxodus
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Transaction Info	Block #21649828/Trx afa562f17c765990732e6b4f445fe3b27b26d1c1

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scienceonlinefollowed @vlastelin

2018/04/17 15:35:27 UTC

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scienceonlinefollowed @marcusmalone

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scienceonlinefollowed @noganoo

2018/04/17 15:35:03 UTC

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scienceonlineupvoted (100.00%) @scienceonline / introduzione-alla-matematica-babilonese

2018/04/17 15:33:51 UTC

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scienceonlinepublished a new post: introduzione-alla-matematica-babilonese

2018/04/17 15:33:51 UTC

21,649,780|fef3873

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title	Introduzione alla matematica babilonese
body	<html> <p><img src="http://www.scienceonline.it/wp-content/uploads/2018/04/Plimpton_322-2.jpeg" width="375" height="283"/></p> <p> La civiltà babilonese lega le proprie origini ed il proprio splendore alla città di Babilonia, che letteralmente significa “porta del Dio”, sulla cui fondazione aleggiano svariate ipotesi, secondo quanto ci hanno tramandato le fonti storiche più accreditate: Erodoto, Diodoro Siculo, Strabone, </p> <p>Flavio, Berosso, vari libri della Bibbia e testi cuneiformi babilonesi.<strong>8000 a.C. circa</strong>Tocken ovvero primitive testimonianze di oggetti di creta e argilla raffiguranti figure geometriche (ad esempio: un piccolo cono rappresentava una piccola misura di grano, la sfera rappresentava una grande misura di grano); sono le prime testimonianze, antecedenti la scrittura, di una proto-matematica.<strong>3500 a.C. circa</strong>Prime testimonianze di scrittura; primi testi economici; tavolette di argilla di Uruk.<strong>3000-2350 a.C. circa</strong>Prima dinastia; Prime tavole e primi problemi matematici scritti.<strong>2276-2221 a.C. circa</strong>Sargon I; epoca degli Akkadi.<strong>2100-2000 a.C. circa</strong>Ur III e Neo Sumeri; Sviluppo della notazione posizionale a base sessagesimale;<br> <strong>2000-1600 a.C. circa</strong>Antichi Babilonesi; principale fonte delle nostre conoscenze in campo di matematica mesopotamica; a questo periodo risalgono tavole di moltiplicazione, di radici, di potenze, di reciproci e di coefficienti. Compaiono i primi algoritmi elementari.<strong>2000-1400 a.C. circa</strong>Antichi Assiri<strong>1800-1600 a.C. circa</strong>Dinastia degli Hammurabi; sistema numerico consolidato.<strong>1400-1000 a.C. circa</strong>Medi Assiri<strong>1000-612 a.C. circa</strong>Neo Assiri<strong>625-539 a.C. circa</strong>Neo Babilonesi<strong>538 a.C</strong>Babilonia cade in mano a Ciro, re di Persia; fine dell’antico impero babilonese.<em>Ecco una mappa della regione in cui è fiorita la civiltà</em>.La regione era stata il centro della civiltà sumera che prosperò prima del 3500 aC. Si trattava di una civiltà avanzata che costruiva città e supportava le persone con sistemi di irrigazione, un sistema legale, l’amministrazione e persino un servizio postale. La scrittura sviluppata e il conteggio erano basati su un sistema sessagesimale, cioè sulla base 60. Intorno al 2300 aC gli akkadiani invasero l’area e per qualche tempo la cultura più arretrata degli akkadiani si mescolò con la cultura più avanzata dei sumeri. Gli akkadiani hanno inventato l’abaco come strumento per il conteggio e hanno sviluppato metodi un po ‘maldestri di aritmetica con addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni che hanno tutte un ruolo. I Sumeri, tuttavia, si rivoltarono contro il dominio degli accadici e nel 2100 aC tornarono al controllo.Tuttavia la civiltà babilonese, la cui matematica è oggetto di questo articolo, sostituì quella dei Sumeri dal 2000 aC circa. I Babilonesi erano un popolo semitico che invasero la Mesopotamia sconfiggendo i Sumeri e intorno al 1900 aC fondando la loro capitale a Babilonia.I Sumeri avevano sviluppato una forma astratta di scrittura basata su simboli cuneiformi (cioè a forma di cuneo). I loro simboli sono stati scritti su tavolette di argilla bagnate che sono state cotte al sole caldo e molte migliaia di queste tavolette sono sopravvissute fino ad oggi. Era l’uso di uno stilo su un terreno argilloso che portava all’uso di simboli cuneiformi poiché non era possibile tracciare linee curve. I successivi babilonesi adottarono lo stesso stile di scrittura cuneiforme su tavolette d’argilla.<em>Ecco una delle loro tavolette</em>Molte delle tavolette riguardano argomenti che, sebbene non contengano una profonda matematica, tuttavia sono affascinanti<em>.</em> Per esempio abbiamo citato sopra i sistemi di irrigazione delle prime civiltà in Mesopotamia. Questi sono discussi in [1 ] dove Muroi scrive:</p> <blockquote><em>Era un compito importante per i governanti della Mesopotamia scavare canali e mantenerli, perché i canali non erano solo necessari per l’irrigazione ma anche utili per il trasporto di merci ed eserciti. I governanti o alti funzionari del governo devono aver ordinato ai matematici babilonesi di calcolare il numero di lavoratori e di giorni necessari per la costruzione di un canale e di calcolare le spese totali dei salari dei lavoratori.Ci sono diversi testi matematici antichi babilonesi in cui vengono richieste varie quantità riguardanti lo scavo di un canale. Sono YBC 4666 , 7164 e IVA 7528 , tutti scritti in sumerico … e YBC 9874 e BM 85196 , n. 15 , che sono scritti in accadico …. Dal punto di vista matematico questi problemi sono relativamente semplici …</em></blockquote> <p>I babilonesi avevano un sistema numerico avanzato, per certi versi più avanzato dei nostri attuali sistemi. Era un sistema posizionale con una base di 60 anziché il sistema con base 10 in uso diffuso oggi. Per ulteriori dettagli sui numeri babilonesi e anche una discussione sulle teorie sul perché hanno usato la base 60, vedi il nostro articolo sui numeri babilonesi .I Babilonesi dividevano il giorno in 24 ore, ogni ora in 60 minuti, ogni minuto in 60 secondi. Questa forma di conteggio è sopravvissuta per 4000 anni. Per scrivere 5h 25′ 30″ , vale a dire 5 ore, 25 minuti, 30 secondi, è solo quello di scrivere la frazione sessagesimale, 5 25 / il 60 30 / 3600 adottiamo la notazione 5;. 25, 30 per questo numero sessagesimale, per più dettagli riguardanti questa notazione vedi nostro articolo sul sistema di numerazione babilonese come 10 frazione di base il numero sessagesimale 5;. 25, 30 è 5 4 / 10 2 / 100 5 / 1000 che viene scritto come 5.425 in notazione decimale.Forse l’aspetto più sorprendente delle capacità di calcolo del babilonese era la costruzione di tabelle per il calcolo. Due tavolette ritrovate a Senkerah sull’Eufrate nel 1854 risalgono al 2000 aC. Danno quadrati dei numeri fino a 59 e cubi dei numeri fino a 32. La tabella dà 8 2 = 1,4 che rappresenta8 2 = 1, 4 = 1 × 60 + 4 = 64e così via fino a 59 2 = 58, 1 (= 58 × 60 +1 = 3481).I babilonesi usarono la formula<em>ab</em> = [( <em>a</em> + <em>b</em> ) 2 – <em>a </em>2 – <em>b </em>2 ] / 2per rendere più facile la moltiplicazione. Ancora meglio è la loro formula<em>ab</em> = [( <em>a</em> + <em>b</em> ) 2 – ( <em>a</em> – <em>b</em> ) 2 ] / 4il che dimostra che una tabella di quadrati è tutto ciò che è necessario per moltiplicare i numeri, semplicemente prendendo la differenza dei due quadrati che sono stati osservati nella tabella, prendendo quindi un quarto della risposta. La divisione è un processo più difficile. I babilonesi non avevano un algoritmo per la lunga divisione. Invece hanno basato il loro metodo sul fatto che<em>a</em> / <em>b</em> = <em>a</em> × (1 / <em>b</em> )quindi tutto ciò che era necessario era un tavolo di reciprocità. Abbiamo ancora i loro tavoli reciproci che arrivano ai reciproci numeri fino a diversi miliardi. Naturalmente queste tabelle sono scritte nei loro numeri, ma usando la notazione sessagesimale che abbiamo introdotto sopra, l’inizio di una delle loro tabelle sarebbe simile a:</p> <pre><code>        2 0; 30 <br>         3 0; 20 <br>         4 0; 15 <br>         5 0; 12 <br>         6 0; 10 <br>         8 0; 7, 30 <br>         9 0; 6, 40 <br>        10 0; 6 <br>        12 0; 5 <br>        15 0; 4 <br>        16 0; 3, 45 <br>        18 0; 3, 20 <br>        20 0; 3 <br>        24 0; 2, 30 <br>        25 0; 2, 24 <br>        27 0; 2, 13, 20<br> </code></pre> <p>Ora il tavolo aveva lacune da quando 1 / 7 , 1 / 11 , 1 / 13 , ecc non sono finite basamento 60 frazioni. Questo non significa che i Babilonesi non potevano calcolare 1 / 13 , dicono.Scriveranno 1 / 13 = 7 / 91 = 7 × ( 1 / 91 ) = (approssimativamente) 7 × ( 1 / 90 )e questi valori, ad esempio 1 / 90 , sono stati somministrati in loro tabelle. In effetti ci sono affascinanti scorci dei Babilonesi che vanno a patti con il fatto che la divisione di 7 porterebbe ad una frazione sessagesimale infinita. Uno scrivano darebbe un numero vicino a 1 / 7 e quindi scrivere istruzioni come (vedi per esempio [2]): –</p> <blockquote><em>… un’approssimazione è data poiché 7 non si divide</em></blockquote> <p>La matematica babilonese andava ben oltre i calcoli aritmetici. Nel nostro articolo sul teorema di Pitagora nella matematica babilonese esaminiamo alcune delle loro idee geometriche e anche alcune idee di base nella teoria dei numeri. In questo articolo esaminiamo ora l’algebra sviluppata dai babilonesi, in particolare i problemi che hanno portato alle equazioni e alla loro soluzione.Abbiamo notato sopra che i Babilonesi erano famosi come costruttori di tavoli. Ora questi potrebbero essere usati per risolvere equazioni. Ad esempio hanno costruito tabelle per <em>n </em>3 + <em>n </em>2 quindi, con l’aiuto di queste tabelle, potrebbero essere risolte alcune equazioni cubiche. Ad esempio, considera l’equazione<em>ax </em>3 + <em>bx </em>2 = <em>c</em>Cerchiamo di sottolineare subito che stiamo usando la notazione moderna e nulla di simile a una rappresentazione simbolica esisteva in epoca babilonese. Ciononostante i babilonesi potevano gestire esempi numerici di tali equazioni usando regole che indicano che avevano il concetto di un problema tipico di un dato tipo e un metodo tipico per risolverlo. Per esempio nel caso precedente avrebbero (nella nostra notazione) moltiplicare l’equazione di <em>un </em>2 e dividerlo per <em>b </em>3 per ottenere( <em>ax</em> / <em>b</em> ) 3 + ( <em>ax</em> / <em>b</em> ) 2 = <em>ca </em>2 / <em>b </em>3Mettendo <em>y</em> = <em>ax</em> / <em>b</em> questo dà l’equazione<em>y </em>3 + <em>y </em>2 = <em>ca </em>2 / <em>b </em>3che potrebbe ora essere risolti cercando il <em>n </em>3 + <em>n </em>2 tavolo per il valore di <em>n</em> soddisfare <em>n </em>3 + <em>n </em>2 = <em>ca </em>2 / <em>b </em>3 . Quando una soluzione è stato trovato <em>y</em> allora <em>x</em> è stato trovato da <em>x</em> = <em>da</em> / <em>a</em> . Sottolineiamo ancora che tutto ciò è stato fatto senza notazione algebrica e ha mostrato una notevole profondità di comprensione.Di nuovo una tabella sarebbe stata cercata per risolvere l’equazione lineare <em>ax</em> = <em>b</em> . Consulterebbero la tabella 1 / <em>n</em> per trovare 1 / <em>a</em> e quindi moltiplicare il numero sessagesimale indicato nella tabella per <em>b</em> . Un esempio di un problema di questo tipo è il seguente. Supponiamo, scrive uno scriba, 2 / 3 del 2 / 3viene prelevata una certa quantità di orzo, vengono aggiunte 100 unità di orzo e recuperata la quantità originale. Il problema posto dallo scriba è trovare la quantità di orzo. La soluzione fornita dallo scriba è calcolare 0; 40 volte 0; 40 per ottenere 0; 26, 40. Sottrai questo da 1; 00 per ottenere 0; 33, 20. Cercare il reciproco di 0; 33, 20 in una tabella per ottenere 1; 48. Moltiplicare 1; 48 per 1,40 per ottenere la risposta 3,0.Non è così facile capire questi calcoli dallo scriba a meno che non li traduciamo in una moderna notazione algebrica. Dobbiamo risolvere2 / 3 × 2 / 3 <em>x</em> + 100 = <em>x</em>che è, come scrivano sapeva, equivalente a risolvere (1 – 4 / 9 ) <em>x</em> = 100. Questo è il motivo scrivano calcolato 2 / 3 × 2 / 3 sottratto la risposta da 1 a ricevere (1 – 4 / 9 ), poi lo sguardo 1 / (1 – 4 / 9 ) e quindi <em>x</em> è stato trovato da 1 / (1 – 4 / 9 ) moltiplicato per 100 dando 180 (che è 1; 48 volte 1, 40 per ottenere 3, 0 in sessagesimali) .Per risolvere un’equazione quadratica i babilonesi utilizzavano essenzialmente la formula standard. Hanno preso in considerazione due tipi di equazione quadratica, vale a dire<em>x </em>2 + <em>bx</em> = <em>c</em> e <em>x </em>2 – <em>bx</em> = <em>c</em>dove qui b, c erano positivi ma non necessariamente interi. La forma che hanno preso le loro soluzioni era, rispettivamente<em>x</em> = √ [( <em>b</em> / 2) 2 + <em>c</em> ] – ( <em>b</em> / 2) e <em>x</em> = √ [( <em>b</em> / 2) 2 + <em>c</em> ] + ( <em>b</em> / 2).Si noti che in ogni caso questa è la radice positiva delle due radici del quadratico e quella che ha senso nel risolvere problemi “reali”. Ad esempio, problemi che hanno condotto i babilonesi a equazioni di questo tipo riguardavano spesso l’area di un rettangolo. Ad esempio, se l’area è data e la quantità con cui la lunghezza supera l’ampiezza è data, allora l’ampiezza soddisfa un’equazione quadratica e quindi applicherebbero la prima versione della formula sopra.Un problema su una tavola ai tempi degli antichi babilonesi afferma che l’area di un rettangolo è 1, 0 e la sua lunghezza supera l’ampiezza di 7. L’equazion<em>x </em>2 + 7 <em>x</em> = 1, 0è, ovviamente, dato dallo scriba che trova la risposta come segue. Calcola la metà di 7, vale a dire 3; 30, piazza per ottenerne 12; 15. A questo lo scriba aggiunge 1, 0 per ottenere 1; 12, 15. Prendi la sua radice quadrata (da una tabella di quadrati) per ottenere 8; 30. Da questa sottrazione 3; 30 per dare la risposta 5 per l’ampiezza del triangolo. Si noti che lo scriba ha risolto efficacemente un’equazione del tipo <em>x </em>2 + <em>bx</em> = <em>c</em> usando <em>x</em> = √ [( <em>b</em> / 2) 2 + <em>c</em> ] – ( <em>b</em> / 2).Berriman fornisce 13 tipici esempi di problemi che portano a equazioni di secondo grado prese da vecchie tavolette babilonesi.Se i problemi che interessano l’area dei rettangoli portano a equazioni di secondo grado, i problemi relativi al volume dello scavo rettangolare (una “cantina”) portano a equazioni cubiche. La tavoletta di argilla BM 85200+ contenente 36 problemi di questo tipo, è il primo tentativo noto di creare e risolvere equazioni cubiche. Hoyrup parla di questa affascinante tavolettat in [4]. Naturalmente i babilonesi non hanno raggiunto una formula generale per risolvere i cubi.</p> <h4>Numeri babilonesi</h4> <p>L’aspetto particolare del calcolo babilonese fu l’uso di tavole come aiuto per i calcoli. Essi avevano un sistema numerico da un punto di vista più avanzato del nostro sistema decimale. Era un sistema di notazione posizionale in base 60. Invece del nostro in base 10. Mentre 10 ha due soli divisori, 60 ha dieci divisori, così molti più risultati hanno forma intera. I Babilonesi dividevano il giorno in 24 ore, ogni ora in 60 minuti, ogni minuto in 60 secondi. Questo modo di contare è sopravvissuto per 4000 anni. Per scrivere 5h 25 min 30 sec i babilonesi scrivevano 5 25 30 (check).Due tavolette del 2000 a.C., trovate in riva all’Eufrate nel 1854, riportano i quadrati dei numeri interi fino a 59, e i cubi dei numeri fino a 32. Es. 59^2 = 58 1 (58×60 + 1). Non avevano però lo zero.<br> Per eseguire la moltiplicazione, usavano formule comea . b = (a + b )² /4 + ( a – b )² /4e una tavola dei quadrati. La divisione era riportata alla moltiplicazione, a . b = a . 1/b<br> e si hanno tavolette coi reciproci fino ad alcuni miliardi. Una tavoletta datata a 1900-1600 a.C. contiene risposte al problema pitagorico a² + b² = c²Gli egiziani (come i romani) usarono un sistemai di numeri non adatti ai calcoli aritmetici. Sommare due numeri in cifre romane non è difficile, ma la moltiplicazione è quasi impossibile (avevano però abachi, N.d.R.). Il papiro di Rhind, comprato a Luxor nel 1858 (6 m x 0.30 m) riporta vari calcoli che datano almeno al 1850 a.C. Esempio di moltiplicazione 59 x 41:41 = 32 + 9 = 32 + 8 + 1 e quindi sommando i valori corrispondenti a (59 x) 1, 8, 32 si ottiene il risultato:<strong>1</strong>x5921184236<strong>8</strong>x47216944<strong>32</strong>x1888——–<strong>2419</strong>Si legge sul libro scritto da Boyer:</p> <blockquote><em>“Il sistema decimale, comune alla maggior parte delle civiltà, sia antiche che moderne, era stato sostituito in Mesopotamia da una notazione che aveva a fondamento la base sessanta. Molto è stato scritto sui motivi che avrebbero dato origine a questo cambiamento; è stata avanzata l’ipotesi che possano avervi contribuito considerazioni di carattere astronomico o che il sistema sessagesimale sia risultato dalla combinazione di due sistemi più antichi, uno decimale, l’altro in base sei. Appare però più verosimile l’ipotesi che la base sessanta sia stata consapevolmente adottata e riconosciuta come fondamentale ai fini della misurazione: una grandezza di sessanta unità può venire infatti facilmente divisa in metà, terzi, quarti, quinti, sesti, decimi dodicesimi, quindicesimi, ventesimi e trentesimi, offrendo così dieci suddivisioni possibili.”</em></blockquote> <p>Qui di seguito possiamo vedere come venivano rappresentati i numeri; in generale, le testimonianze giunte sino a noi sono date da tavolette di argilla (incise con uno stilo con caratteri cuneiformi) che sono resistite egregiamente alle ingiurie del tempo e anche a incendi e cambiamenti climatici. La rappresentazione dei numeri discende dai sumeri ed ha quindi un valore posizionale; con un simbolo simile ad una <strong>V</strong> venivano indicate le unità e con un simbolo simile a <strong><</strong> venivano rappresentate le decine:<em>Ecco i 59 simboli creati da questi due simboli</em>Il tutto fino a 59; da 60 in poi i simboli si ripetevano e di conseguenza c’era una possibile ambiguità che però è fugata da un’accentuata spaziatura nei diversi casi (i numeri venivano quasi raggruppati come mostra il seguente esempio):424000 = 1  603 + 57  602 + 46  60 + 40 = 1;57;46;40Le operazioni venivano effettuate in modo molto simile al nostro eccetto per la divisione che era considerata come una moltiplicazione per il reciproco del denominatore. A tale proposito sono note alcune importanti tavole di rappresentazione di reciproci di interi e di scomposizione di frazioni in somme di reciproci di interi.Tra le molte tavolette pervenuteci notiamo la presenza, in alcuni casi di grandezze incognite all’interno di problemi (e anche la presenza di problemi di terzo grado); per questo motivo, c’è chi parla di algebra babilonese, anche se bisogna ammettere che se di algebra si può parlare, essa è un’algebra molto diversa dall’algebra attuale. Si nota anche che l’intera matematica babilonese manca di generalità in senso moderno, in quanto non presenta dimostrazioni, ma solo moltissimi casi particolari.Da ultimo possiamo affermare con certezza che le popolazioni che si sono succedute tra il 3500 e il 500 a.C. nell’area compresa tra il fiume Tigri ed Eufrate erano a conoscenza di rudimentali basi di geometria; sono state ritrovate infatti tavolette raffiguranti figure geometriche e pur non fornendo una dimostrazione, sembra che conoscessero e facessero uso del teorema di Pitagora.Ora, dato un sistema posizionale, serve una convenzione riguardo a quale estremità del numero rappresenta le unità. Ad esempio il decimale 12345 rappresenta1 × 10 4 + 2 × 10 3 + 3 × 10 2 + 4 × 10 + 5.Se ci si pensa, questo è forse illogico perché leggiamo da sinistra a destra, quindi quando leggiamo la prima cifra non ne conosciamo il valore finché non abbiamo letto il numero completo per scoprire quanti poteri di 10 sono associati a questo primo posto . Il sistema posizionale sessagesimale babilonese piazza i numeri con la stessa convenzione, quindi la posizione più a destra è per le unità fino a 59, la posizione uno a sinistra è per 60 × <em>n</em> dove 1 ≤ <em>n</em> ≤ 59, ecc. Ora adottiamo una notazione dove separiamo i numeri con virgole, per esempio, 1,57,46,40 rappresenta il numero sessagesimale1 × 60 3 + 57 × 60 2 + 46 × 60 + 40che, in notazione decimale è 424000.<em>Ecco 1,57,46,40 in numeri babilonesi</em>Ora c’è un potenziale problema con il sistema. Poiché due sono rappresentati da due caratteri ciascuno rappresentante una unità, e 61 è rappresentato dall’unico carattere per un’unità al primo posto e un secondo carattere identico per un’unità al secondo posto, quindi i sessagesimi babilonesi numeri 1,1 e 2 hanno essenzialmente la stessa rappresentazione Tuttavia, questo non era un problema in quanto la spaziatura dei personaggi permetteva di distinguere. Nel simbolo per 2 i due caratteri che rappresentano l’unità si toccano e diventano un unico simbolo. Nel numero 1,1 c’è uno spazio tra di loro.Un problema molto più serio era il fatto che non c’era zero da mettere in una posizione vuota. I numeri sessagesimali numero 1 e 1,0, vale a dire 1 e 60 in decimali, avevano esattamente la stessa rappresentazione e ora non c’era modo che la spaziatura potesse aiutare. Il contesto chiarito, e in effetti, nonostante questo appare molto insoddisfacente, non avrebbe potuto essere trovato dai Babilonesi. Come facciamo a saperlo? Bene, se avessero davvero scoperto che il sistema presentava loro vere e proprie ambiguità avrebbero risolto il problema – non c’è dubbio che avevano le capacità per trovare una soluzione se il sistema fosse stato impraticabile. Forse dovremmo menzionare qui che successivamente le civiltà babilonesi inventarono un simbolo per indicare un luogo vuoto, quindi la mancanza di uno zero non avrebbe potuto essere del tutto soddisfacente per loro.Allo stesso modo un posto vuoto nel mezzo di un numero ha dato loro problemi. Anche se non è un commento molto serio, forse vale la pena notare che se assumiamo che tutte le nostre cifre decimali siano ugualmente probabili in un numero, allora c’è una possibilità su dieci di un posto vuoto mentre per i Babilonesi con il loro sistema sessagesimale c’era un una possibilità su sessanta. Tornando ai posti vuoti nel mezzo di numeri possiamo guardare esempi reali in cui ciò accade.Ecco un esempio da una tavoletta cuneiforme (in realtà AO 17264 nella collezione del Louvre a Parigi) in cui viene eseguito il calcolo al quadrato 147. In sessagesimale 147 = 2,27 e quadratura dà il numero 21609 = 6,0,9.<em>Ecco l’esempio babilonese di 2,27 al quadrato</em>Forse lo scriba lasciava un po ‘più di spazio del solito tra il 6 e il 9 di quanto avrebbe fatto se avesse rappresentato 6,9.Ora, se lo spazio vuoto ha causato un problema con gli interi, c’era un problema ancora più grande con le frazioni sessagesimali babilonesi. I babilonesi usavano un sistema di frazioni sessagesimali simile alle nostre frazioni decimali. Ad esempio, se si scrive 0,125 allora questo è 1 / 10 + 2 / 100+ 5 / 1000 = 1 / 8 . Naturalmente una frazione del modulo <em>un</em> / <em>b</em> , nella sua forma più bassa, può essere rappresentato come una frazione decimale finita se e solo se b non ha divisori primi diversi da 2 o 5. Quindi 1 / 3non ha una frazione decimale finita. Analogamente la frazione sessagesimale babilonese 0; 7,30 rappresentato 7 / 60 + 30 / 3600 che a sua volta scritto nella nostra notazione è 1 / 8 .Poiché 60 è divisibile dai primi 2, 3 e 5, allora un numero della forma a / b, nella sua forma più bassa, può essere rappresentato come una frazione decimale finita se e solo se b non ha divisori primari diversi da 2, 3 o 5. Più frazioni possono quindi essere rappresentate come frazioni sessagesimali finite che possono essere frazioni decimali finite. Alcuni storici pensano che questa osservazione abbia una diretta influenza sul motivo per cui i babilonesi svilupparono il sistema sessagesimale, piuttosto che il sistema decimale, ma questo sembra un po ‘improbabile. Se questo fosse il caso, perché non avere 30 come base? Discutiamo questo problema in dettaglio qui di seguito.Ora abbiamo già suggerito la notazione che useremo per denotare un numero sessagesimale con una parte frazionaria. Per illustrare 10,12,5, 1,52,30 rappresenta il numero10 × 60 2 + 12 × 5 + 60 + 1 / 60 + 52 / 60 2 + 30 / 60 3che nel nostro notazione è 36725 1 / 32 . Questo va bene, ma abbiamo introdotto la notazione del punto e virgola per mostrare dove finisce la parte intera e inizia la parte frazionaria. È il “punto sessagesimale” e svolge un ruolo analogo a un punto decimale. Tuttavia, i Babilonesi non hanno alcuna notazione per indicare dove finisce la parte intera e inizia la parte frazionaria. Quindi è stata introdotta una grande dose di ambiguità e “il contesto chiarisce che” la filosofia ora sembra piuttosto tesa. Se scrivo 10,12,5,1,52,30 senza avere una notazione per il “punto sessagesimale”, allora potrebbe significare:</p> <pre><code>0; 10,12, 5, 1,52,30 <br>  10; 12, 5, 1,52,30 <br>  10,12; 5, 1,52,30 <br>  10,12, 5; 1,52,30 <br>  10,12, 5, 1; 52,30 <br>  10,12, 5, 1,52; 30 <br>  10,12, 5, 1,52,30</code></pre> <p>inoltre, naturalmente, a 10, 12, 5, 1, 52, 30, 0 o 0; 0, 10, 12, 5, 1, 52, 30 ecc.Infine dovremmo esaminare la questione del perché i babilonesi avevano un sistema numerico con una base di 60. La risposta facile è che hanno ereditato la base dei 60 dai Sumeri, ma questa non è affatto una risposta. Ci porta solo a chiedere perché i Sumeri usassero la base 60. Il primo commento sarebbe che non dobbiamo tornare indietro perché possiamo essere abbastanza certi che il sistema sessagesimale è nato con i Sumeri. Il secondo punto da sottolineare è che i matematici moderni non sono stati i primi a fare domande del genere. Theon di Alessandria ha cercato di rispondere a questa domanda nel quarto secolo d.C. e molti storici della matematica hanno offerto un’opinione da allora senza nessuna risposta convincente.La risposta di Theon fu che il 60 era il numero più piccolo divisibile per 1, 2, 3, 4 e 5 in modo da massimizzare il numero di divisori. Anche se questo è vero, sembra una ragione troppo accademica. Una base di 12 sembrerebbe un candidato più probabile se questo fosse il motivo, eppure nessuna grande civiltà sembra aver escogitato quella base. D’altra parte molte misure coinvolgono 12, ad esempio si verifica frequentemente in suddivisioni di pesi, denaro e lunghezza. Per esempio nelle vecchie misure inglesi c’erano dodici pollici in un piede, dodici centesimi in uno scellino ecc.Neugebauer propose una teoria basata sui pesi e sulle misure utilizzate dai Sumeri. La sua idea è fondamentalmente che un sistema di conteggio decimale è stato modificato in base 60 per consentire di dividere pesi e misure in terzi. Di certo si sa che il sistema di pesi e misure dei Sumeri si usa 1 / 3 e 2 / 3 come frazioni di base. Tuttavia, sebbene Neugebauer possa essere corretto, l’argomentazione contraria sarebbe che il sistema di pesi e misure era una conseguenza del sistema numerico piuttosto che del visto.Diverse teorie sono state basate su eventi astronomici. Il suggerimento che il 60 sia il prodotto del numero di mesi dell’anno (le lune all’anno) con il numero di pianeti (Mercurio, Venere, Marte, Giove, Saturno) sembra essere ancora inverosimile come una ragione per la base 60. Che l’anno è stato pensato per avere 360 giorni è stato suggerito come una ragione per la base numero di 60 dello storico di matematica Moritz Cantor . Ancora una volta l’idea non è convincente in quanto i Sumeri certamente sapevano che l’anno era più lungo di 360 giorni. Un’altra ipotesi riguarda il fatto che il sole si muove attraverso il suo diametro 720 volte durante un giorno e, con 12 ore sumeriche in un giorno, si può arrivare con 60.Alcune teorie si basano sulla geometria. Ad esempio una teoria è che un triangolo equilatero era considerato il fondamentale tassello geometrico dei Sumeri. Ora un angolo di un triangolo equilatero è 60 ° quindi se questo fosse diviso in 10, un angolo di 6 ° diventerebbe l’unità angolare di base. Ora ci sono sessanta di queste unità di base in un cerchio, quindi di nuovo abbiamo il motivo proposto per scegliere 60 come base. Si noti che questo argomento si contraddice quasi da solo in quanto assume 10 come unità di base per la divisione!Nota: tutte queste ragioni non valgano davvero la pena di essere considerate seriamente. “Scegliere il 60 come base”   è molto significativa. Semplicemente nessuno ha mai scelto una base numerica per nessuna civiltà. Riuscite a immaginare che i Sumeri istituiscano un comitato per decidere sulla loro base numerica: nessuna cosa semplicemente non è avvenuta in quel modo. La ragione deve implicare il modo in cui il conteggio è sorto nella civiltà sumera, proprio come 10 divenne una base in altre civiltà che iniziarono a contare sulle loro dita, e venti divennero una base per coloro che contavano sulle dita delle mani e dei piedi.Ecco un modo con il quale potrebbe essere successo. Si può contare fino a 60 usando le due mani. Sulla mano sinistra ci sono tre parti su ciascuna delle quattro dita (escluso il pollice). Le parti sono divise l’una dall’altra dalle articolazioni delle dita. Ora si può contare fino a 60 indicando una delle dodici parti delle dita della mano sinistra con una delle cinque dita della mano destra. Questo dà un modo di contare fino a 60 anziché a 10. Chiunque è convinto?Una variante di questa proposta è stata fatta da altri. Forse la teoria più largamente accettata propone che la civiltà sumera debba essere avvenuta attraverso l’unione di due popoli, uno dei quali aveva base 12 per il loro conteggio e l’altro con base 5. Sebbene 5 non sia simile al 10 come numero base tra i popoli antichi, non è raro ed è chiaramente utilizzato da persone che contano sulle dita di una mano e poi ricominciano. Questa teoria quindi suppone che, mentre i due popoli si mescolavano e che i due sistemi di conteggio fossero usati da membri diversi della società che commerciavano tra di loro, la base 60 sarebbe sorta naturalmente come il sistema che tutti capivano.</p> <h4><strong>Teorema di Pitagora nella matematica babilonese</strong></h4> <p>Esaminiamo quattro tavolette babilonesi che hanno una  connessione con il teorema di Pitagora . Certamente i babilonesi avevano familiarità con il teorema di Pitagora . Una traduzione di una tavoletta babilonese conservata nel museo britannico è la seguente:</p> <blockquote><em>4 è la lunghezza e 5 la diagonale. Qual è l’ampiezza?</em><br> <em>La sua dimensione non è nota.</em><br> <em>4 volte 4 è 16 .</em><br> <em>5 volte 5 è 25 .</em><br> <em>Prendi 16 da 25 e ne rimangono 9 .</em><br> <em>A che ora cosa devo prendere per ottenere 9 ?</em><br> <em>3 volte 3 è 9 .</em><br> <em>3 è l’ampiezza.</em></blockquote> <p>Tutte le tavolette che vogliamo considerare in dettaglio provengono più o meno dallo stesso periodo, cioè quello dell’antico Impero babilonese che fiorì in Mesopotamia tra il 1900 aC e il 1600 aC. La matematica babilonese fornisce alcune informazioni su come si è sviluppata la civiltà e sullo sfondo matematico che hanno ereditato dai sumeri. Le quattro tavolette che ci interessano qui Yale YBC 7289, Plimpton 322 (mostrata sotto),la tavoletta Susa ela Tell Dhibayi. Parliamo un po di queste tavolette prima di descriverne la matematica che contengono.La tavoletta Yale YBC 7289 che descriviamo è contenuta nella collezione Yale Babylonian della Yale University. Consiste in una tavola su cui appare un diagramma. Il diagramma è un quadrato del lato 30 con le diagonali disegnate. Il suo significato è stato discusso per la prima volta in [17] e recentemente in [30].<em>Plimpton 322 è la tavoletta numero 322 nella collezione di GA Plimpton che stà alla Columbia University.</em>È possibile vedere dall’immagine che l’angolo in alto a sinistra della tavoletta è danneggiato. La sua data non è conosciuta con precisione, ma è collocata tra il 1800 aC e il 1650 aC. Si pensa che sia solo una parte di una tavola più grande, il cui resto è stato distrutto, e inizialmente si pensava che, come molte di questi tavole, fosse una registrazione di transazioni commerciali. Tuttavia in [ 17 ] Neugebauer e Sachs hanno dato una nuova interpretazione e da allora è stata oggetto di un enorme interesse.La tavoletta Susa è stata scoperta nell’attuale città di Shush nella regione del Khuzistan in Iran. La città si trova a circa 350 km dall’antica città di Babilonia. WK Loftus lo identificò come importante sito archeologico già nel 1850 ma gli scavi non furono eseguiti fino a molto tempo dopo. La particolare tavoletta che ci interessa qui descrive come calcolare il raggio di un cerchio attraverso i vertici di un triangolo isoscele.Infine la tavoletta Tell Dhibayi era una delle circa 500 ritrovate vicino a Baghdad dagli archeologi nel 1962. La maggior parte si riferisce all’amministrazione di una città antica che fiorì ai tempi di Ibalpiel II di Eshunna e risalente al 1750 circa. La particolare tavoletta che ci riguarda presenta un problema geometrico che chiede di determinare le dimensioni di un rettangolo di cui sono noti l’area e la diagonale.Prima di esaminare la matematica contenuta in queste quattro tavolette dovremmo descriverne il loro significato nel contesto della matematica babilonese. In primo luogo dobbiamo stare attenti a non sovrastimarne la matematica alla luce delle odierne conoscenze. Viceversa, dobbiamo stare attenti a non sottovalutarne il significato solo perché è stata prodotta da matematici che pensavano in modo molto diverso dai matematici odierni. Non è un problema capire che cos’è la tavoletta Yale YBC 7289.        <em>Un diagramma della tavoletta Yale</em>La tavoletta Yale ha un diagramma di un quadrato con 30 su un lato, sono disegnatele diagonali e vicino al centro sono scritte 1,24,51,10 e 42,25,35. Naturalmente questi numeri sono scritti in numeri babilonesi su base 60.  I numeri babilonesi sono sempre ambigui e non abbiamo nessuna indicazione su dove finisce la parte intera e inizia la parte frazionaria. Supponendo che il primo numero sia 1; 24,51,10 convertire questo in un decimale dà 1,414212963 mentre √2 = 1,414213562. Calcolare 30 × [1; 24,51,10] dà 42; 25,35 che è il secondo numero. La diagonale di un quadrato del lato 30 si trova moltiplicando 30 per l’approssimazione a √2.Questo mostra una buona comprensione del teorema di Pitagora. Tuttavia, ancora più significativa è la domanda su come i babilonesi abbiano trovato questa approssimazione molto buona a √2. Diversi autori, per esempio  congetturano che i Babilonesi usassero un metodo equivalente al metodo di Heron . Il suggerimento è che iniziarono con un’ipotesi, diciamo <em>x</em> . Hanno quindi trovato <em>e</em> = <em>x </em>2 – 2 che è l’errore. Poi( <em>x</em> – <em>e</em> / 2 <em>x</em> ) 2 = <em>x </em>2 – <em>e</em> + ( <em>e</em> / 2 <em>x</em> ) 2 = 2 + ( <em>e</em> / 2 <em>x</em> ) 2e avevano una migliore approssimazione in quanto se <em>e</em> è piccolo allora ( <em>e</em> / 2 <em>x</em> ) 2 sarà ancora più piccolo. Continuando il processo con questa migliore approssimazione a √2 si ottiene un’approssimazione ancora migliore e così via. Infatti, come sottolinea Joseph in [4], richiede solo due passaggi dell’algoritmo se si inizia con <em>x</em> = 1 per ottenere l’approssimazione 1; 24,51,10.I babilonesi produssero tavole di quadrati, infatti la loro intera comprensione della moltiplicazione fu costruita intorno al concetto di quadrato, quindi forse un approccio più ovvio per loro sarebbe stato fare due ipotesi, una alta e una bassa diciamo <em>a</em> e <em>b</em> . Prendiamo la loro media ( <em>a</em> + <em>b</em> ) / 2. Se il quadrato è maggiore di 2, allora sostituisci <em>b</em> con quello che vuoi, mentre se il quadrato è minore di 2, allora sostituisci a con ( <em>a</em>+ <em>b</em> ) / 2. Continua con l’algoritmo. Ora questo certamente richiede molti più passi per raggiungere l’approssimazione sessagesimale 1, 24,51,10. Infatti, iniziando con <em>a</em> = 1 <em>e b</em> = 2, ci vogliono 19 passaggi come mostrato nella tabella seguente: passo decimale sessagesimale1 1.500000000 1; 29,59,59<br> 2 1.250000000 1; 14,59,59<br> 3 1.375000000 1; 22,29,59<br> 4 1.437500000 1; 26,14,59<br> 5 1.406250000 1; 24,22,29<br> 6 1,421875000 1; 25 , 18,44<br> 7 1.414062500 1; 24,50,37<br> 8 1.417968750 1;25,41<br> 9 1,416015625 1; 24,57,39<br> 10 1.415039063 1; 24,54, 8<br> 11 1,414550781 1; 24,52,22<br> 12 1.414306641 1; 24,51; 30<br> 13 1.414184570 1; 24,51; 3<br> 14 1.414245605 1; 24,51; 17<br> 15 1.414215088 1; 24,51; 10<br> 16 1.414199829 1; 24,51; 7<br> 17 1.414207458 1; 24,51; 8<br> 18 1.414211273 1; 24,51; 9<br> 19 1.414213181 1; 24,51; 10Tuttavia, i babilonesi non erano spaventati dall’informatica e forse erano pronti a continuare questo semplice calcolo fino a quando la risposta fosse corretta al terzo posto sessagesimale.<em>Guardiamo di nuovo Plimpton 322</em>La tavola ha quattro colonne con 15 righe. L’ultima colonna è la più semplice da capire perché dà il numero di riga e quindi contiene 1, 2, 3, …, 15. Il fatto notevole che Neugebauer e Sachs hanno sottolineato in [1] è che in ogni riga il quadrato dà il numero <em>c</em> nella colonna 3 meno il quadrato del numero <em>b</em> nella colonna 2 è un quadrato perfetto, per esempio <em>h</em> .Quindi la tabella è una lista di tripli interi pitagorici. Ora questo non è del tutto vero poiché Neugebauer e Sachs credono che lo scriba abbia commesso quattro errori di trascrizione, due in ogni colonna e questa interpretazione è necessaria per far funzionare la regola. Gli errori sono prontamente visti come errori genuini, tuttavia, ad esempio 8,1 è stato copiato dallo scriba come 9,1.<em>c </em>2 – <em>b </em>2 = <em>h </em>2La prima colonna è più difficile da capire, soprattutto perché il danno alla tavoletta significa che manca una parte di essa. Tuttavia, usando la notazione di cui sopra, si vede che la prima colonna è solo ( <em>c</em> / <em>h</em> ) 2 . Fin qui tutto bene, ma se si scrivessero le terne pitagoriche si troverebbero molto più facili di quelli che appaiono sul tavolo. Per esempio la tripla 3, 4, 5 di Pitagora non appare né 5, 12, 13, e infatti la più piccola tripla pitagorica che appare è 45, 60, 75 (15 volte 3, 4, 5). Anche le righe non compaiono in alcun ordine logico tranne che i numeri nella colonna 1 diminuiscono regolarmente. L’enigma quindi è come sono stati trovati i numeri e perché questi particolari tripli pitagorici sono indicati nella tabella.Diversi storici (vedi per esempio [8]) hanno suggerito che la colonna 1 è connessa con la funzione secante. Tuttavia, come commenta Joseph [ 4 ]: –</p> <blockquote><em>Questa interpretazione è un po ‘fantasiosa.</em></blockquote> <p>Zeeman ha fatto un’osservazione affascinante. Ha sottolineato che se i Babilonesi usavano le formule <em>h</em> = 2 <em>mn</em> , <em>b</em> = <em>m </em>2 – <em>n </em>2 , <em>c</em> = <em>m </em>2 + <em>n </em>2 per generare tripli pitagorici allora ci sono esattamente 16 tripli che soddisfano <em>n</em> ≤ 60, 30 ° ≤ <em>t</em> ≤ 45 ° e tan 2 <em>t</em> = <em>h </em>2 / <em>b </em>2 aventi un’espansione finita sessagesimale (che è equivalente a <em>m</em> , <em>n</em> , <em>b</em>avere 2, 3 e 5 come loro primi divisori). Ora 15 dei 16 tripli pitagorici che soddisfano le condizioni di Zeeman appaiono in Plimpton 322. È il più antico teorema di classificazione matematica noto? Anche se non possiamo credere che Zeeman abbia ragione, crediamo che la sua spiegazione debba essere sulla strada giusta.Per dare una giusta discussione su Plimpton 322 dovremmo aggiungere che non tutti gli storici concordano sul fatto che questo tablet riguarda i tripli pitagorici. Per esempio Exarchakos, in [ 17 ], afferma che il tablet è connesso con la soluzione delle equazioni quadratiche e non ha nulla a che fare con le terne pitagoriche: –</p> <blockquote><em>… dimostriamo che in questa tavoletta non c’è alcuna prova che i babilonesi conoscessero il teorema di Pitagora e le triadi di Pitagora.</em></blockquote> <p>Sento che gli argomenti sono deboli, soprattutto perché ci sono numerose tavolette che mostrano che i babilonesi di questo periodo avevano una buona comprensione del teorema di Pitagora . Altri autori, pur accettando che Plimpton 322 è una raccolta di tripli pitagorici, hanno sostenuto di avere, come scrive Viola in [ 31 ], un uso pratico nel dare un:</p> <blockquote><em>… metodo generale per il calcolo approssimativo delle aree dei triangoli.</em></blockquote> <p>La tavoletta Susa pone un problema su un triangolo isoscele con lati 50, 50 e 60. Il problema è trovare il raggio del cerchio attraverso i tre vertici.<em>Ecco un diagramma del tablet Susa</em>Qui abbiamo definito il triangolo <em>A</em> , <em>B</em> , <em>C</em> e il centro del cerchio è <em>O</em>. L’ <em>AD</em> perpendicolare viene disegnato da <em>A</em> per incontrare il lato <em>BC</em> . Ora il triangolo <em>ABD</em> è un triangolo ad angolo retto, quindi, usando il teorema di Pitagora <em>AD </em>2 = <em>AB </em>2 – <em>BD </em>2 , quindi <em>AD</em> = 40. Lasciamo il raggio del cerchio uguale a <em>x</em> . Quindi <em>AO</em> = <em>OB</em> = <em>x</em> e <em>OD</em> = 40 – <em>x</em>. Usando di nuovo il teorema di Pitagora sul triangolo <em>OBD</em> avremo<em>x </em>2 = <em>OD </em>2 + <em>DB </em>2 .Così<em>x </em>2 = (40- <em>x</em> ) 2 + 30 2ponendo <em>x </em>2 = 40 2 – 80 <em>x</em> + <em>x </em>2 + 30 2 quindi 80 <em>x</em> = 2500 o, in sessagesimale, <em>x</em> = 31; 15.Infine, considera il problema della tavola Tell Dhibayi. Richiede i lati di un rettangolo la cui area è 0; 45 e la cui diagonale è 1; 15. Se i lati sono <em>x</em> , <em>y</em> abbiamo <em>xy</em> = 0.75 e <em>x </em>2 + <em>y </em>2 = (1.25) 2 .Sostituiremmo <em>y</em> = 0.75 / <em>x </em>nella seconda equazione per ottenere un quadratico in <em>x </em>2 che è facilmente risolvibile. Questo tuttavia non è il metodo di soluzione dato dai Babilonesi e in realtà non è sorprendente poiché si basa pesantemente sulla nostra comprensione algebrica delle equazioni. Il modo in cui la tavoletta Tell Dhibayi risolve il problema è in realtà molto più interessante del metodo moderno.Ecco il metodo dalla tavola Tell Dhibayi. Noi preservare la moderna notazione <em>x</em> ed <em>y</em> come ogni passo per chiarezza, ma facciamo i calcoli in notazione sessagesimale.Calcola 2<em>xy</em> = 1; 30. Sottrai da <em>x </em>2 + <em>y </em>2 = 1; 33,45 per ottenere <em>x </em>2 + <em>y </em>2 – 2<em>xy</em> = 0; 3,45.Prendi la radice quadrata per ottenere <em>x</em> – <em>y</em> = 0; 15.Dividere per 2 per ottenere ( <em>x</em> – <em>y</em> ) / 2 = 0; 7,30.Dividi <em>x </em>2 + <em>y </em>2 – 2 <em>xy</em> = 0; 3,45 per 4 per ottenere <em>x </em>2 /4 + <em>y </em>2 /4 – <em>xy</em> / 2 = 0; 0,56,15.Aggiungi <em>xy</em> = 0; 45 per ottenere <em>x </em>2 /4 + <em>y </em>2 /4 + <em>xy</em> / 2 = 0; 45,56,15.Prendi la radice quadrata per ottenere ( <em>x</em> + <em>y</em> ) / 2 = 0; 52,30.Aggiungi ( <em>x</em> + <em>y</em> ) / 2 = 0; 52,30 a ( <em>x</em> – <em>y</em> ) / 2 = 0; 7,30 per ottenere <em>x</em> = 1.Sottrai ( <em>x</em> – <em>y</em> ) / 2 = 0; 7,30 da ( <em>x</em> + <em>y</em> ) / 2 = 0; 52,30 per ottenere <em>y</em> = 0; 45.Quindi il rettangolo ha lati <em>x</em> = 1 <em>e y</em> = 0; 45.Non è un bel pezzo di matematica! Ricorda che ha 3750 anni. Dovremmo essere grati ai babilonesi per aver registrato questo piccolo capolavoro su tavolette di argilla che possiamo apprezzare oggi.</p> <h4><em>Referenze</em></h4> <ol> <li>http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Babylonian_mathematics.htm</li> <li>K Muroi, Small canal problems of Babylonian mathematics, <em>Historia Sci.</em> (2) <strong>1</strong> (3) (1992), 173-180.</li> <li>G G Joseph, <em>The crest of the peacock</em> (London, 1991).</li> <li>A E Berriman, The Babylonian quadratic equation, <em>Math. 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      "body": "<html>\n<p><img src=\"http://www.scienceonline.it/wp-content/uploads/2018/04/Plimpton_322-2.jpeg\" width=\"375\" height=\"283\"/></p>\n<p>&nbsp;La civiltà babilonese lega le proprie origini ed il proprio splendore alla città di Babilonia, che letteralmente significa “porta del Dio”, sulla cui fondazione aleggiano svariate ipotesi, secondo quanto ci hanno tramandato le fonti storiche più accreditate: Erodoto, Diodoro Siculo, Strabone,&nbsp;</p>\n<p>Flavio, Berosso, vari libri della Bibbia e testi cuneiformi babilonesi.<strong>8000 a.C. circa</strong>Tocken ovvero primitive testimonianze di oggetti di creta e argilla raffiguranti figure geometriche (ad esempio: un piccolo cono rappresentava una piccola misura di grano, la sfera rappresentava una grande misura di grano); sono le prime testimonianze, antecedenti la scrittura, di una proto-matematica.<strong>3500 a.C. circa</strong>Prime testimonianze di scrittura; primi testi economici; tavolette di argilla di Uruk.<strong>3000-2350 a.C. circa</strong>Prima dinastia; Prime tavole e primi problemi matematici scritti.<strong>2276-2221 a.C. circa</strong>Sargon I; epoca degli Akkadi.<strong>2100-2000 a.C. circa</strong>Ur III e Neo Sumeri; Sviluppo della notazione posizionale a base sessagesimale;<br>\n<strong>2000-1600 a.C. circa</strong>Antichi Babilonesi; principale fonte delle nostre conoscenze in campo di matematica mesopotamica; a questo periodo risalgono tavole di moltiplicazione, di radici, di potenze, di reciproci e di coefficienti. Compaiono i primi algoritmi elementari.<strong>2000-1400 a.C. circa</strong>Antichi Assiri<strong>1800-1600 a.C. circa</strong>Dinastia degli Hammurabi; sistema numerico consolidato.<strong>1400-1000 a.C. circa</strong>Medi Assiri<strong>1000-612 a.C. circa</strong>Neo Assiri<strong>625-539 a.C. circa</strong>Neo Babilonesi<strong>538 a.C</strong>Babilonia cade in mano a Ciro, re di Persia; fine dell’antico impero babilonese.<em>Ecco una&nbsp;mappa della regione in&nbsp;cui è fiorita la civiltà</em>.La regione era stata il centro della civiltà sumera che prosperò prima del 3500 aC.&nbsp;Si trattava di una civiltà avanzata che costruiva città e supportava le persone con sistemi di irrigazione, un sistema legale, l’amministrazione e persino un servizio postale.&nbsp;La scrittura sviluppata e il conteggio erano basati su un sistema sessagesimale, cioè sulla base 60. Intorno al 2300 aC gli akkadiani invasero l’area e per qualche tempo la cultura più arretrata degli akkadiani si mescolò con la cultura più avanzata dei sumeri.&nbsp;Gli akkadiani hanno inventato l’abaco come strumento per il conteggio e hanno sviluppato metodi un po ‘maldestri di aritmetica con addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni che hanno tutte un ruolo.&nbsp;I Sumeri, tuttavia, si rivoltarono contro il dominio degli accadici e nel 2100 aC tornarono al controllo.Tuttavia la civiltà babilonese, la cui matematica è oggetto di questo articolo, sostituì quella dei Sumeri dal 2000 aC circa. I Babilonesi erano un popolo semitico che invasero la Mesopotamia sconfiggendo i Sumeri e intorno al 1900 aC fondando la loro capitale a Babilonia.I Sumeri avevano sviluppato una forma astratta di scrittura basata su simboli cuneiformi (cioè a forma di cuneo).&nbsp;I loro simboli sono stati scritti su tavolette di argilla bagnate che sono state cotte al sole caldo e molte migliaia di queste tavolette sono sopravvissute fino ad oggi.&nbsp;Era l’uso di uno stilo su un terreno argilloso che portava all’uso di simboli cuneiformi poiché non era possibile tracciare linee curve.&nbsp;I successivi babilonesi adottarono lo stesso stile di scrittura cuneiforme su tavolette d’argilla.<em>Ecco&nbsp;una delle loro tavolette</em>Molte delle tavolette riguardano argomenti che, sebbene non contengano una profonda matematica, tuttavia sono affascinanti<em>.</em>&nbsp;Per esempio abbiamo citato sopra i sistemi di irrigazione delle prime civiltà in Mesopotamia.&nbsp;Questi sono discussi in [1&nbsp;] dove Muroi scrive:</p>\n<blockquote><em>Era un compito importante per i governanti della Mesopotamia scavare canali e mantenerli, perché i canali non erano solo necessari per l’irrigazione ma anche utili per il trasporto di merci ed eserciti.&nbsp;I governanti o alti funzionari del governo devono aver ordinato ai matematici babilonesi di calcolare il numero di lavoratori e di giorni necessari per la costruzione di un canale e di calcolare le spese totali dei salari dei lavoratori.Ci sono diversi testi matematici antichi babilonesi in cui vengono richieste varie quantità riguardanti lo scavo di un canale.&nbsp;Sono YBC&nbsp;4666&nbsp;,&nbsp;7164&nbsp;e IVA&nbsp;7528&nbsp;, tutti scritti in sumerico … e YBC&nbsp;9874&nbsp;e BM&nbsp;85196&nbsp;, n.&nbsp;15&nbsp;, che sono scritti in accadico ….&nbsp;Dal punto di vista matematico questi problemi sono relativamente semplici …</em></blockquote>\n<p>I babilonesi avevano un sistema numerico avanzato, per certi versi più avanzato dei nostri attuali sistemi.&nbsp;Era un sistema posizionale con una base di 60 anziché il sistema con base 10 in uso diffuso oggi.&nbsp;Per ulteriori dettagli sui numeri babilonesi e anche una discussione sulle teorie sul perché hanno usato la base 60, vedi il nostro articolo sui&nbsp;numeri babilonesi&nbsp;.I Babilonesi dividevano il giorno in 24 ore, ogni ora in 60 minuti, ogni minuto in 60 secondi.&nbsp;Questa forma di conteggio è sopravvissuta per 4000 anni.&nbsp;Per scrivere 5h 25′ 30″ , vale a dire 5 ore, 25 minuti, 30 secondi, è solo quello di scrivere la frazione sessagesimale, 5&nbsp;25&nbsp;/&nbsp;il 60&nbsp;30&nbsp;/&nbsp;3600&nbsp;adottiamo la notazione 5;. 25, 30 per questo numero sessagesimale, per più dettagli riguardanti questa notazione vedi nostro articolo sul&nbsp;sistema di numerazione babilonese&nbsp;come 10 frazione di base il numero sessagesimale 5;. 25, 30 è 5&nbsp;4&nbsp;/&nbsp;10&nbsp;2&nbsp;/&nbsp;100&nbsp;5&nbsp;/&nbsp;1000&nbsp;che viene scritto come 5.425 in notazione decimale.Forse l’aspetto più sorprendente delle capacità di calcolo del babilonese era la costruzione di tabelle per il calcolo.&nbsp;Due tavolette ritrovate a Senkerah sull’Eufrate nel 1854 risalgono al 2000 aC.&nbsp;Danno quadrati dei numeri fino a 59 e cubi dei numeri fino a 32. La tabella dà 8&nbsp;2&nbsp;= 1,4 che rappresenta8&nbsp;2&nbsp;= 1, 4 = 1 × 60 + 4 = 64e così via fino a 59&nbsp;2&nbsp;= 58, 1 (= 58 × 60 +1 = 3481).I babilonesi usarono la formula<em>ab</em>&nbsp;= [(&nbsp;<em>a</em>&nbsp;+&nbsp;<em>b</em>&nbsp;)&nbsp;2&nbsp;–&nbsp;<em>a&nbsp;</em>2&nbsp;–&nbsp;<em>b&nbsp;</em>2&nbsp;] / 2per rendere più facile la moltiplicazione.&nbsp;Ancora meglio è la loro formula<em>ab</em>&nbsp;= [(&nbsp;<em>a</em>&nbsp;+&nbsp;<em>b</em>&nbsp;)&nbsp;2&nbsp;– (&nbsp;<em>a</em>&nbsp;–&nbsp;<em>b</em>&nbsp;)&nbsp;2&nbsp;] / 4il che dimostra che una tabella di quadrati è tutto ciò che è necessario per moltiplicare i numeri, semplicemente prendendo la differenza dei due quadrati che sono stati osservati nella tabella, prendendo quindi un quarto della risposta. La divisione è un processo più difficile.&nbsp;I babilonesi non avevano un algoritmo per la lunga divisione.&nbsp;Invece hanno basato il loro metodo sul fatto che<em>a</em>&nbsp;/&nbsp;<em>b</em>&nbsp;=&nbsp;<em>a</em>&nbsp;× (1 /&nbsp;<em>b</em>&nbsp;)quindi tutto ciò che era necessario era un tavolo di reciprocità.&nbsp;Abbiamo ancora i loro tavoli reciproci che arrivano ai reciproci numeri fino a diversi miliardi.&nbsp;Naturalmente queste tabelle sono scritte nei loro numeri, ma usando la notazione sessagesimale che abbiamo introdotto sopra, l’inizio di una delle loro tabelle sarebbe simile a:</p>\n<pre><code>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2 0; 30 <br>\n &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;3 0; 20 <br>\n &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;4 0; 15 <br>\n &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;5 0; 12 <br>\n &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;6 0; 10 <br>\n &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;8 0; 7, 30 <br>\n &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;9 0; 6, 40 <br>\n &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;10 0; 6 <br>\n &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;12 0; 5 <br>\n &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;15 0; 4 <br>\n &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;16 0; 3, 45 <br>\n &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;18 0; 3, 20 <br>\n &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;20 0; 3 <br>\n &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;24 0; 2, 30 <br>\n &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;25 0; 2, 24 <br>\n &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;27 0; 2, 13, 20<br>\n</code></pre>\n<p>Ora il tavolo aveva lacune da quando&nbsp;1&nbsp;/&nbsp;7&nbsp;,&nbsp;1&nbsp;/&nbsp;11&nbsp;,&nbsp;1&nbsp;/&nbsp;13&nbsp;, ecc non sono finite basamento 60 frazioni.&nbsp;Questo non significa che i Babilonesi non potevano calcolare&nbsp;1&nbsp;/&nbsp;13&nbsp;, dicono.Scriveranno&nbsp;1&nbsp;/&nbsp;13&nbsp;=&nbsp;7&nbsp;/&nbsp;91&nbsp;= 7 × (&nbsp;1&nbsp;/&nbsp;91&nbsp;) = (approssimativamente) 7 × (&nbsp;1&nbsp;/&nbsp;90&nbsp;)e questi valori, ad esempio&nbsp;1&nbsp;/&nbsp;90&nbsp;, sono stati somministrati in loro tabelle.&nbsp;In effetti ci sono affascinanti scorci dei Babilonesi che vanno a patti con il fatto che la divisione di 7 porterebbe ad una frazione sessagesimale infinita.&nbsp;Uno scrivano darebbe un numero vicino a&nbsp;1&nbsp;/&nbsp;7&nbsp;e quindi scrivere istruzioni come (vedi per esempio [2]): –</p>\n<blockquote><em>… un’approssimazione è data poiché&nbsp;7&nbsp;non si divide</em></blockquote>\n<p>La matematica babilonese andava ben oltre i calcoli aritmetici.&nbsp;Nel nostro articolo sul&nbsp;teorema di Pitagora nella matematica babilonese&nbsp;esaminiamo alcune delle loro idee geometriche e anche alcune idee di base nella teoria dei numeri.&nbsp;In questo articolo esaminiamo ora l’algebra sviluppata dai babilonesi, in particolare i problemi che hanno portato alle equazioni e alla loro soluzione.Abbiamo notato sopra che i Babilonesi erano famosi come costruttori di tavoli.&nbsp;Ora questi potrebbero essere usati per risolvere equazioni.&nbsp;Ad esempio hanno costruito tabelle per&nbsp;<em>n&nbsp;</em>3&nbsp;+&nbsp;<em>n&nbsp;</em>2&nbsp;quindi, con l’aiuto di queste tabelle, potrebbero essere risolte alcune equazioni cubiche.&nbsp;Ad esempio, considera l’equazione<em>ax&nbsp;</em>3&nbsp;+&nbsp;<em>bx&nbsp;</em>2&nbsp;=&nbsp;<em>c</em>Cerchiamo di sottolineare subito che stiamo usando la notazione moderna e nulla di simile a una rappresentazione simbolica esisteva in epoca babilonese.&nbsp;Ciononostante i babilonesi potevano gestire esempi numerici di tali equazioni usando regole che indicano che avevano il concetto di un problema tipico di un dato tipo e un metodo tipico per risolverlo.&nbsp;Per esempio nel caso precedente avrebbero (nella nostra notazione) moltiplicare l’equazione di&nbsp;<em>un&nbsp;</em>2&nbsp;e dividerlo per&nbsp;<em>b&nbsp;</em>3&nbsp;per ottenere(&nbsp;<em>ax</em>&nbsp;/&nbsp;<em>b</em>&nbsp;)&nbsp;3&nbsp;+ (&nbsp;<em>ax</em>&nbsp;/&nbsp;<em>b</em>&nbsp;)&nbsp;2&nbsp;=&nbsp;<em>ca&nbsp;</em>2&nbsp;/&nbsp;<em>b&nbsp;</em>3Mettendo&nbsp;<em>y</em>&nbsp;=&nbsp;<em>ax</em>&nbsp;/&nbsp;<em>b</em>&nbsp;questo dà l’equazione<em>y&nbsp;</em>3&nbsp;+&nbsp;<em>y&nbsp;</em>2&nbsp;=&nbsp;<em>ca&nbsp;</em>2&nbsp;/&nbsp;<em>b&nbsp;</em>3che potrebbe ora essere risolti cercando il&nbsp;<em>n&nbsp;</em>3&nbsp;+&nbsp;<em>n&nbsp;</em>2&nbsp;tavolo per il valore di&nbsp;<em>n</em>&nbsp;soddisfare&nbsp;<em>n&nbsp;</em>3&nbsp;+&nbsp;<em>n&nbsp;</em>2&nbsp;=&nbsp;<em>ca&nbsp;</em>2&nbsp;/&nbsp;<em>b&nbsp;</em>3&nbsp;.&nbsp;Quando una soluzione è stato trovato&nbsp;<em>y</em>&nbsp;allora&nbsp;<em>x</em>&nbsp;è stato trovato da&nbsp;<em>x</em>&nbsp;=&nbsp;<em>da</em>&nbsp;/&nbsp;<em>a</em>&nbsp;.&nbsp;Sottolineiamo ancora che tutto ciò è stato fatto senza notazione algebrica e ha mostrato una notevole profondità di comprensione.Di nuovo una tabella sarebbe stata cercata per risolvere l’equazione lineare&nbsp;<em>ax</em>&nbsp;=&nbsp;<em>b</em>&nbsp;.&nbsp;Consulterebbero la&nbsp;tabella&nbsp;1&nbsp;/&nbsp;<em>n</em>&nbsp;per trovare&nbsp;1&nbsp;/&nbsp;<em>a</em>&nbsp;e quindi moltiplicare il numero sessagesimale indicato nella tabella per&nbsp;<em>b</em>&nbsp;.&nbsp;Un esempio di un problema di questo tipo è il seguente. Supponiamo, scrive uno scriba,&nbsp;2&nbsp;/&nbsp;3&nbsp;del&nbsp;2&nbsp;/&nbsp;3viene prelevata una certa quantità di orzo, vengono aggiunte 100 unità di orzo e recuperata la quantità originale.&nbsp;Il problema posto dallo scriba è trovare la quantità di orzo.&nbsp;La soluzione fornita dallo scriba è calcolare 0;&nbsp;40 volte 0;&nbsp;40 per ottenere 0;&nbsp;26, 40. Sottrai questo da 1;&nbsp;00 per ottenere 0;&nbsp;33, 20. Cercare il reciproco di 0;&nbsp;33, 20 in una tabella per ottenere 1; 48.&nbsp;Moltiplicare 1; 48 per 1,40 per ottenere la risposta 3,0.Non è così facile capire questi calcoli dallo scriba a meno che non li traduciamo in una moderna notazione algebrica.&nbsp;Dobbiamo risolvere2&nbsp;/&nbsp;3&nbsp;×&nbsp;2&nbsp;/&nbsp;3&nbsp;<em>x</em>&nbsp;+ 100 =&nbsp;<em>x</em>che è, come scrivano sapeva, equivalente a risolvere (1 –&nbsp;4&nbsp;/&nbsp;9&nbsp;)&nbsp;<em>x</em>&nbsp;= 100. Questo è il motivo scrivano calcolato&nbsp;2&nbsp;/&nbsp;3&nbsp;×&nbsp;2&nbsp;/&nbsp;3&nbsp;sottratto la risposta da 1 a ricevere (1 –&nbsp;4&nbsp;/&nbsp;9&nbsp;), poi lo sguardo 1 / (1 –&nbsp;4&nbsp;/&nbsp;9&nbsp;) e quindi&nbsp;<em>x</em>&nbsp;è stato trovato da 1 / (1 –&nbsp;4&nbsp;/&nbsp;9&nbsp;) moltiplicato per 100 dando 180 (che è 1; 48 volte 1, 40 per ottenere 3, 0 in sessagesimali) .Per risolvere un’equazione quadratica i babilonesi utilizzavano essenzialmente la formula standard.&nbsp;Hanno preso in considerazione due tipi di equazione quadratica, vale a dire<em>x&nbsp;</em>2&nbsp;+&nbsp;<em>bx</em>&nbsp;=&nbsp;<em>c</em>&nbsp;e&nbsp;<em>x&nbsp;</em>2&nbsp;–&nbsp;<em>bx</em>&nbsp;=&nbsp;<em>c</em>dove qui b, c erano positivi ma non necessariamente interi.&nbsp;La forma che hanno preso le loro soluzioni era, rispettivamente<em>x</em>&nbsp;= √ [(&nbsp;<em>b</em>&nbsp;/ 2)&nbsp;2&nbsp;+&nbsp;<em>c</em>&nbsp;] – (&nbsp;<em>b</em>&nbsp;/ 2) e&nbsp;<em>x</em>&nbsp;= √ [(&nbsp;<em>b</em>&nbsp;/ 2)&nbsp;2&nbsp;+&nbsp;<em>c</em>&nbsp;] + (&nbsp;<em>b</em>&nbsp;/ 2).Si noti che in ogni caso questa è la radice positiva delle due radici del quadratico e quella che ha senso nel risolvere problemi “reali”.&nbsp;Ad esempio, problemi che hanno condotto i babilonesi a equazioni di questo tipo riguardavano spesso l’area di un rettangolo.&nbsp;Ad esempio, se l’area è data e la quantità con cui la lunghezza supera l’ampiezza è data, allora l’ampiezza soddisfa un’equazione quadratica e quindi applicherebbero la prima versione della formula sopra.Un problema su una tavola ai tempi degli antichi babilonesi afferma che l’area di un rettangolo è 1, 0 e la sua lunghezza supera l’ampiezza di 7. L’equazion<em>x&nbsp;</em>2&nbsp;+ 7&nbsp;<em>x</em>&nbsp;= 1, 0è, ovviamente, dato dallo scriba che trova la risposta come segue.&nbsp;Calcola la metà di 7, vale a dire 3;&nbsp;30, piazza per ottenerne 12;&nbsp;15. A questo lo scriba aggiunge 1, 0 per ottenere 1;&nbsp;12, 15. Prendi la sua radice quadrata (da una tabella di quadrati) per ottenere 8;&nbsp;30. Da questa sottrazione 3;&nbsp;30 per dare la risposta 5 per l’ampiezza del triangolo.&nbsp;Si noti che lo scriba ha risolto efficacemente un’equazione del tipo&nbsp;<em>x&nbsp;</em>2&nbsp;+&nbsp;<em>bx</em>&nbsp;=&nbsp;<em>c</em>&nbsp;usando&nbsp;<em>x</em>&nbsp;= √ [(&nbsp;<em>b</em>&nbsp;/ 2)&nbsp;2&nbsp;+&nbsp;<em>c</em>&nbsp;] – (&nbsp;<em>b</em>&nbsp;/ 2).Berriman fornisce 13 tipici esempi di problemi che portano a equazioni di secondo grado prese da vecchie tavolette babilonesi.Se i problemi che interessano l’area dei rettangoli portano a equazioni di secondo grado, i problemi relativi al volume dello scavo rettangolare (una “cantina”) portano a equazioni cubiche.&nbsp;La tavoletta di argilla BM 85200+ contenente 36 problemi di questo tipo, è il primo tentativo noto di creare e risolvere equazioni cubiche.&nbsp;Hoyrup parla di questa affascinante tavolettat in [4].&nbsp;Naturalmente i babilonesi non hanno raggiunto una formula generale per risolvere i cubi.</p>\n<h4>Numeri babilonesi</h4>\n<p>L’aspetto particolare del calcolo babilonese fu l’uso di tavole come aiuto per i calcoli. Essi avevano un sistema numerico da un punto di vista più avanzato del nostro sistema decimale. Era un sistema di notazione posizionale in base 60. Invece del nostro in base 10. Mentre 10 ha due soli divisori, 60 ha dieci divisori, così molti più risultati hanno forma intera. I Babilonesi dividevano il giorno in 24 ore, ogni ora in 60 minuti, ogni minuto in 60 secondi. Questo modo di contare è sopravvissuto per 4000 anni. Per scrivere 5h 25 min 30 sec i babilonesi scrivevano 5 25 30 (check).Due tavolette del 2000 a.C., trovate in riva all’Eufrate nel 1854, riportano i quadrati dei numeri interi fino a 59, e i cubi dei numeri fino a 32. Es. 59^2 = 58 1 (58×60 + 1). Non avevano però lo zero.<br>\nPer eseguire la moltiplicazione, usavano formule comea . b = (a + b )² /4 + ( a – b )² /4e una tavola dei quadrati. La divisione era riportata alla moltiplicazione, a . b = a . 1/b<br>\ne si hanno tavolette coi reciproci fino ad alcuni miliardi. Una tavoletta datata a 1900-1600 a.C. contiene risposte al problema pitagorico a² + b² = c²Gli egiziani (come i romani) usarono un sistemai di numeri non adatti ai calcoli aritmetici. Sommare due numeri in cifre romane non è difficile, ma la moltiplicazione è quasi impossibile (avevano però abachi, N.d.R.). Il papiro di Rhind, comprato a Luxor nel 1858 (6 m x 0.30 m) riporta vari calcoli che datano almeno al 1850 a.C. Esempio di moltiplicazione 59 x 41:41 = 32 + 9 = 32 + 8 + 1 e quindi sommando i valori corrispondenti a (59 x) 1, 8, 32 si ottiene il risultato:<strong>1</strong>x5921184236<strong>8</strong>x47216944<strong>32</strong>x1888——–<strong>2419</strong>Si legge sul libro scritto da Boyer:</p>\n<blockquote><em>“Il sistema decimale, comune alla maggior parte delle civiltà, sia antiche che moderne, era stato sostituito in Mesopotamia da una notazione che aveva a fondamento la base sessanta. Molto è stato scritto sui motivi che avrebbero dato origine a questo cambiamento; è stata avanzata l’ipotesi che possano avervi contribuito considerazioni di carattere astronomico o che il sistema sessagesimale sia risultato dalla combinazione di due sistemi più antichi, uno decimale, l’altro in base sei. Appare però più verosimile l’ipotesi che la base sessanta sia stata consapevolmente adottata e riconosciuta come fondamentale ai fini della misurazione: una grandezza di sessanta unità può venire infatti facilmente divisa in metà, terzi, quarti, quinti, sesti, decimi dodicesimi, quindicesimi, ventesimi e trentesimi, offrendo così dieci suddivisioni possibili.”</em></blockquote>\n<p>Qui di seguito possiamo vedere come venivano rappresentati i numeri; in generale, le testimonianze giunte sino a noi sono date da tavolette di argilla (incise con uno stilo con caratteri cuneiformi) che sono resistite egregiamente alle ingiurie del tempo e anche a incendi e cambiamenti climatici. La rappresentazione dei numeri discende dai sumeri ed ha quindi un valore posizionale; con un simbolo simile ad una&nbsp;<strong>V</strong>&nbsp;venivano indicate le unità e con un simbolo simile a&nbsp;<strong>&lt;</strong>&nbsp;venivano rappresentate le decine:<em>Ecco i&nbsp;59 simboli&nbsp;creati da questi due simboli</em>Il tutto fino a 59; da 60 in poi i simboli si ripetevano e di conseguenza c’era una possibile ambiguità che però è fugata da un’accentuata spaziatura nei diversi casi (i numeri venivano quasi raggruppati come mostra il seguente esempio):424000 = 1&nbsp;&nbsp;603&nbsp;+ 57&nbsp;&nbsp;602&nbsp;+ 46&nbsp;&nbsp;60 + 40 = 1;57;46;40Le&nbsp;operazioni&nbsp;venivano effettuate in modo molto simile al nostro eccetto per la divisione che era considerata come una moltiplicazione per il&nbsp;reciproco&nbsp;del denominatore. A tale proposito sono note alcune importanti tavole di rappresentazione di reciproci di interi e di scomposizione di frazioni in somme di reciproci di interi.Tra le molte tavolette pervenuteci notiamo la presenza, in alcuni casi di&nbsp;grandezze incognite&nbsp;all’interno di problemi (e anche la presenza di problemi di terzo grado); per questo motivo, c’è chi parla di&nbsp;algebra babilonese, anche se bisogna ammettere che se di algebra si può parlare, essa è un’algebra molto diversa dall’algebra attuale. Si nota anche che l’intera matematica babilonese&nbsp;manca di generalità&nbsp;in senso moderno, in quanto non presenta dimostrazioni, ma solo moltissimi casi particolari.Da ultimo possiamo affermare con certezza che le popolazioni che si sono succedute tra il 3500 e il 500 a.C. nell’area compresa tra il fiume Tigri ed Eufrate erano a conoscenza di rudimentali basi di&nbsp;geometria; sono state ritrovate infatti tavolette raffiguranti figure geometriche e pur non fornendo una dimostrazione, sembra che conoscessero e facessero uso del&nbsp;teorema di Pitagora.Ora, dato un sistema posizionale, serve una convenzione riguardo a quale estremità del numero rappresenta le unità.&nbsp;Ad esempio il decimale 12345 rappresenta1 × 10&nbsp;4&nbsp;+ 2 × 10&nbsp;3&nbsp;+ 3 × 10&nbsp;2&nbsp;+ 4 × 10 + 5.Se ci si pensa, questo è forse illogico perché leggiamo da sinistra a destra, quindi quando leggiamo la prima cifra non ne conosciamo il valore finché non abbiamo letto il numero completo per scoprire quanti poteri di 10 sono associati a questo primo posto .&nbsp;Il sistema posizionale sessagesimale babilonese piazza i numeri con la stessa convenzione, quindi la posizione più a destra è per le unità fino a 59, la posizione uno a sinistra è per 60 ×&nbsp;<em>n</em>&nbsp;dove 1 ≤&nbsp;<em>n</em>&nbsp;≤ 59, ecc. Ora adottiamo una notazione dove separiamo i numeri con virgole, per esempio, 1,57,46,40 rappresenta il numero sessagesimale1 × 60&nbsp;3&nbsp;+ 57 × 60&nbsp;2&nbsp;+ 46 × 60 + 40che, in notazione decimale è 424000.<em>Ecco&nbsp;1,57,46,40 in numeri babilonesi</em>Ora c’è un potenziale problema con il sistema.&nbsp;Poiché due sono rappresentati da due caratteri ciascuno rappresentante una unità, e 61 è rappresentato dall’unico carattere per un’unità al primo posto e un secondo carattere identico per un’unità al secondo posto, quindi i sessagesimi babilonesi numeri 1,1 e 2 hanno essenzialmente la stessa rappresentazione&nbsp;Tuttavia, questo non era un problema in quanto la spaziatura dei personaggi permetteva di distinguere.&nbsp;Nel simbolo per 2 i due caratteri che rappresentano l’unità si toccano e diventano un unico simbolo.&nbsp;Nel numero 1,1 c’è uno spazio tra di loro.Un problema molto più serio era il fatto che non c’era zero da mettere in una posizione vuota.&nbsp;I numeri sessagesimali numero 1 e 1,0, vale a dire 1 e 60 in decimali, avevano esattamente la stessa rappresentazione e ora non c’era modo che la spaziatura potesse aiutare.&nbsp;Il contesto chiarito, e in effetti, nonostante questo appare molto insoddisfacente, non avrebbe potuto essere trovato dai Babilonesi.&nbsp;Come facciamo a saperlo?&nbsp;Bene, se avessero davvero scoperto che il sistema presentava loro vere e proprie ambiguità avrebbero risolto il problema – non c’è dubbio che avevano le capacità per trovare una soluzione se il sistema fosse stato impraticabile.&nbsp;Forse dovremmo menzionare qui che successivamente le civiltà babilonesi inventarono un simbolo per indicare un luogo vuoto, quindi la mancanza di uno zero non avrebbe potuto essere del tutto soddisfacente per loro.Allo stesso modo un posto vuoto nel mezzo di un numero ha dato loro problemi.&nbsp;Anche se non è un commento molto serio, forse vale la pena notare che se assumiamo che tutte le nostre cifre decimali siano ugualmente probabili in un numero, allora c’è una possibilità su dieci di un posto vuoto mentre per i Babilonesi con il loro sistema sessagesimale c’era un una possibilità su sessanta.&nbsp;Tornando ai posti vuoti nel mezzo di numeri possiamo guardare esempi reali in cui ciò accade.Ecco un esempio da una tavoletta cuneiforme (in realtà AO 17264 nella collezione del Louvre a Parigi) in cui viene eseguito il calcolo al quadrato 147.&nbsp;In sessagesimale 147 = 2,27 e quadratura dà il numero 21609 = 6,0,9.<em>Ecco l’esempio babilonese di&nbsp;2,27 al quadrato</em>Forse lo scriba lasciava un po ‘più di spazio del solito tra il 6 e il 9 di quanto avrebbe fatto se avesse rappresentato 6,9.Ora, se lo spazio vuoto ha causato un problema con gli interi, c’era un problema ancora più grande con le frazioni sessagesimali babilonesi.&nbsp;I babilonesi usavano un sistema di frazioni sessagesimali simile alle nostre frazioni decimali.&nbsp;Ad esempio, se si scrive 0,125 allora questo è&nbsp;1&nbsp;/&nbsp;10&nbsp;+&nbsp;2&nbsp;/&nbsp;100+&nbsp;5&nbsp;/&nbsp;1000&nbsp;=&nbsp;1&nbsp;/&nbsp;8&nbsp;.&nbsp;Naturalmente una frazione del modulo&nbsp;<em>un</em>&nbsp;/&nbsp;<em>b</em>&nbsp;, nella sua forma più bassa, può essere rappresentato come una frazione decimale finita se e solo se b non ha divisori primi diversi da 2 o 5. Quindi&nbsp;1&nbsp;/&nbsp;3non ha una frazione decimale finita.&nbsp;Analogamente la frazione sessagesimale babilonese 0; 7,30 rappresentato&nbsp;7&nbsp;/&nbsp;60&nbsp;+&nbsp;30&nbsp;/&nbsp;3600&nbsp;che a sua volta scritto nella nostra notazione è&nbsp;1&nbsp;/&nbsp;8&nbsp;.Poiché 60 è divisibile dai primi 2, 3 e 5, allora un numero della forma a / b, nella sua forma più bassa, può essere rappresentato come una frazione decimale finita se e solo se b non ha divisori primari diversi da 2, 3 o 5. Più frazioni possono quindi essere rappresentate come frazioni sessagesimali finite che possono essere frazioni decimali finite.&nbsp;Alcuni storici pensano che questa osservazione abbia una diretta influenza sul motivo per cui i babilonesi svilupparono il sistema sessagesimale, piuttosto che il sistema decimale, ma questo sembra un po ‘improbabile.&nbsp;Se questo fosse il caso, perché non avere 30 come base?&nbsp;Discutiamo questo problema in dettaglio qui di seguito.Ora abbiamo già suggerito la notazione che useremo per denotare un numero sessagesimale con una parte frazionaria.&nbsp;Per illustrare 10,12,5, 1,52,30 rappresenta il numero10 × 60&nbsp;2&nbsp;+ 12 × 5 + 60 +&nbsp;1&nbsp;/&nbsp;60&nbsp;+&nbsp;52&nbsp;/&nbsp;60&nbsp;2&nbsp;+&nbsp;30&nbsp;/&nbsp;60&nbsp;3che nel nostro notazione è 36725&nbsp;1&nbsp;/&nbsp;32&nbsp;.&nbsp;Questo va bene, ma abbiamo introdotto la notazione del punto e virgola per mostrare dove finisce la parte intera e inizia la parte frazionaria.&nbsp;È il “punto sessagesimale” e svolge un ruolo analogo a un punto decimale.&nbsp;Tuttavia, i Babilonesi non hanno alcuna notazione per indicare dove finisce la parte intera e inizia la parte frazionaria.&nbsp;Quindi è stata introdotta una grande dose di ambiguità e “il contesto chiarisce che” la filosofia ora sembra piuttosto tesa.&nbsp;Se scrivo 10,12,5,1,52,30 senza avere una notazione per il “punto sessagesimale”, allora potrebbe significare:</p>\n<pre><code>0; 10,12, 5, 1,52,30 <br>\n &nbsp;10; 12, 5, 1,52,30 <br>\n &nbsp;10,12; 5, 1,52,30 <br>\n &nbsp;10,12, 5; 1,52,30 <br>\n &nbsp;10,12, 5, 1; 52,30 <br>\n &nbsp;10,12, 5, 1,52; 30 <br>\n &nbsp;10,12, 5, 1,52,30</code></pre>\n<p>inoltre, naturalmente, a 10, 12, 5, 1, 52, 30, 0 o 0;&nbsp;0, 10, 12, 5, 1, 52, 30 ecc.Infine dovremmo esaminare la questione del perché i babilonesi avevano un sistema numerico con una base di 60. La risposta facile è che hanno ereditato la base dei 60 dai Sumeri, ma questa non è affatto una risposta.&nbsp;Ci porta solo a chiedere perché i Sumeri usassero la base 60. Il primo commento sarebbe che non dobbiamo tornare indietro perché possiamo essere abbastanza certi che il sistema sessagesimale è nato con i Sumeri.&nbsp;Il secondo punto da sottolineare è che i matematici moderni non sono stati i primi a fare domande del genere.&nbsp;Theon&nbsp;di Alessandria ha cercato di rispondere a questa domanda nel quarto secolo d.C. e molti storici della matematica hanno offerto un’opinione da allora senza nessuna risposta convincente.La risposta di&nbsp;Theon&nbsp;fu che il 60 era il numero più piccolo divisibile per 1, 2, 3, 4 e 5 in modo da massimizzare il numero di divisori.&nbsp;Anche se questo è vero, sembra una ragione troppo accademica.&nbsp;Una base di 12 sembrerebbe un candidato più probabile se questo fosse il motivo, eppure nessuna grande civiltà sembra aver escogitato quella base.&nbsp;D’altra parte molte misure coinvolgono 12, ad esempio si verifica frequentemente in suddivisioni di pesi, denaro e lunghezza.&nbsp;Per esempio nelle vecchie misure inglesi c’erano dodici pollici in un piede, dodici centesimi in uno scellino ecc.Neugebauer&nbsp;propose una teoria basata sui pesi e sulle misure utilizzate dai Sumeri.&nbsp;La sua idea è fondamentalmente che un sistema di conteggio decimale è stato modificato in base 60 per consentire di dividere pesi e misure in terzi.&nbsp;Di certo si sa che il sistema di pesi e misure dei Sumeri si usa&nbsp;1&nbsp;/&nbsp;3&nbsp;e&nbsp;2&nbsp;/&nbsp;3&nbsp;come frazioni di base.&nbsp;Tuttavia, sebbene&nbsp;Neugebauer&nbsp;possa essere corretto, l’argomentazione contraria sarebbe che il sistema di pesi e misure era una conseguenza del sistema numerico piuttosto che del visto.Diverse teorie sono state basate su eventi astronomici.&nbsp;Il suggerimento che il 60 sia il prodotto del numero di mesi dell’anno (le lune all’anno) con il numero di pianeti (Mercurio, Venere, Marte, Giove, Saturno) sembra essere ancora inverosimile come una ragione per la base 60. Che l’anno è stato pensato per avere 360 giorni è stato suggerito come una ragione per la base numero di 60 dello storico di matematica&nbsp;Moritz Cantor&nbsp;.&nbsp;Ancora una volta l’idea non è convincente in quanto i Sumeri certamente sapevano che l’anno era più lungo di 360 giorni.&nbsp;Un’altra ipotesi riguarda il fatto che il sole si muove attraverso il suo diametro 720 volte durante un giorno e, con 12 ore sumeriche in un giorno, si può arrivare con 60.Alcune teorie si basano sulla geometria.&nbsp;Ad esempio una teoria è che un triangolo equilatero era considerato il fondamentale tassello geometrico dei Sumeri.&nbsp;Ora un angolo di un triangolo equilatero è 60 ° quindi se questo fosse diviso in 10, un angolo di 6 ° diventerebbe l’unità angolare di base.&nbsp;Ora ci sono sessanta di queste unità di base in un cerchio, quindi di nuovo abbiamo il motivo proposto per scegliere 60 come base.&nbsp;Si noti che questo argomento si contraddice quasi da solo in quanto assume 10 come unità di base per la divisione!Nota: tutte queste ragioni non valgano davvero la pena di essere considerate seriamente. “Scegliere il 60 come base”&nbsp; &nbsp;è molto significativa.&nbsp;Semplicemente nessuno ha mai scelto una base numerica per nessuna civiltà.&nbsp;Riuscite a immaginare che i Sumeri istituiscano un comitato per decidere sulla loro base numerica: nessuna cosa semplicemente non è avvenuta in quel modo.&nbsp;La ragione deve implicare il modo in cui il conteggio è sorto nella civiltà sumera, proprio come 10 divenne una base in altre civiltà che iniziarono a contare sulle loro dita, e venti divennero una base per coloro che contavano sulle dita delle mani e dei piedi.Ecco un modo con il quale potrebbe essere successo.&nbsp;Si può contare fino a 60 usando le due mani.&nbsp;Sulla mano sinistra ci sono tre parti su ciascuna delle quattro dita (escluso il pollice).&nbsp;Le parti sono divise l’una dall’altra dalle articolazioni delle dita.&nbsp;Ora si può contare fino a 60 indicando una delle dodici parti delle dita della mano sinistra con una delle cinque dita della mano destra.&nbsp;Questo dà un modo di contare fino a 60 anziché a 10. Chiunque è convinto?Una variante di questa proposta è stata fatta da altri.&nbsp;Forse la teoria più largamente accettata propone che la civiltà sumera debba essere avvenuta attraverso l’unione di due popoli, uno dei quali aveva base 12 per il loro conteggio e l’altro con base 5. Sebbene 5 non sia simile al 10 come numero base tra i popoli antichi, non è raro ed è chiaramente utilizzato da persone che contano sulle dita di una mano e poi ricominciano.&nbsp;Questa teoria quindi suppone che, mentre i due popoli si mescolavano e che i due sistemi di conteggio fossero usati da membri diversi della società che commerciavano tra di loro, la base 60 sarebbe sorta naturalmente come il sistema che tutti capivano.</p>\n<h4><strong>Teorema di Pitagora nella matematica babilonese</strong></h4>\n<p>Esaminiamo quattro tavolette babilonesi che hanno una&nbsp; connessione con&nbsp;il teorema di&nbsp;Pitagora&nbsp;.&nbsp;Certamente i babilonesi avevano familiarità con&nbsp;il teorema di&nbsp;Pitagora&nbsp;.&nbsp;Una traduzione di una tavoletta babilonese conservata nel museo britannico è la seguente:</p>\n<blockquote><em>4&nbsp;è la lunghezza e&nbsp;5&nbsp;la diagonale.&nbsp;Qual è l’ampiezza?</em><br>\n<em>La sua dimensione non è nota.</em><br>\n<em>4&nbsp;volte&nbsp;4&nbsp;è&nbsp;16&nbsp;.</em><br>\n<em>5&nbsp;volte&nbsp;5&nbsp;è&nbsp;25&nbsp;.</em><br>\n<em>Prendi&nbsp;16&nbsp;da&nbsp;25&nbsp;e ne rimangono&nbsp;9&nbsp;.</em><br>\n<em>A che ora cosa devo prendere per ottenere&nbsp;9&nbsp;?</em><br>\n<em>3&nbsp;volte&nbsp;3&nbsp;è&nbsp;9&nbsp;.</em><br>\n<em>3&nbsp;è l’ampiezza.</em></blockquote>\n<p>Tutte le tavolette che vogliamo considerare in dettaglio provengono più o meno dallo stesso periodo, cioè quello dell’antico Impero babilonese che fiorì in Mesopotamia tra il 1900 aC e il 1600 aC. La&nbsp;matematica babilonese&nbsp;fornisce alcune informazioni su come si è sviluppata la civiltà e sullo sfondo matematico che hanno ereditato dai sumeri. Le quattro tavolette che ci interessano qui Yale YBC 7289, Plimpton 322 (mostrata sotto),la tavoletta Susa ela Tell Dhibayi.&nbsp;Parliamo un po di queste tavolette prima di descriverne la matematica che contengono.La tavoletta Yale YBC 7289 che descriviamo è contenuta nella collezione Yale Babylonian della Yale University.&nbsp;Consiste in una tavola su cui appare un diagramma.&nbsp;Il diagramma è un quadrato del lato 30 con le diagonali disegnate. Il suo significato è stato discusso per la prima volta in [17] e recentemente in [30].<em>Plimpton 322&nbsp;è la tavoletta numero 322 nella collezione di GA Plimpton che stà alla Columbia University.</em>È possibile vedere dall’immagine che l’angolo in alto a sinistra della tavoletta è danneggiato. La sua data non è conosciuta con precisione, ma è collocata tra il 1800 aC e il 1650 aC.&nbsp;Si pensa che sia solo una parte di una tavola più grande, il cui resto è stato distrutto, e inizialmente si pensava che, come molte di questi tavole, fosse una registrazione di transazioni commerciali.&nbsp;Tuttavia in [&nbsp;17&nbsp;] Neugebauer e Sachs hanno dato una nuova interpretazione e da allora è stata oggetto di un enorme interesse.La tavoletta Susa è stata scoperta nell’attuale città di Shush nella regione del Khuzistan in Iran.&nbsp;La città si trova a circa 350 km dall’antica città di Babilonia.&nbsp;WK Loftus lo identificò come importante sito archeologico già nel 1850 ma gli scavi non furono eseguiti fino a molto tempo dopo.&nbsp;La particolare tavoletta che ci interessa qui descrive come calcolare il raggio di un cerchio attraverso i vertici di un triangolo isoscele.Infine la tavoletta Tell Dhibayi era una delle circa 500 ritrovate vicino a Baghdad dagli archeologi nel 1962. La maggior parte si riferisce all’amministrazione di una città antica che fiorì ai tempi di Ibalpiel II di Eshunna e risalente al 1750 circa. La particolare tavoletta che ci riguarda presenta un problema geometrico che chiede di determinare le dimensioni di un rettangolo di cui sono noti l’area e la diagonale.Prima di esaminare la matematica contenuta in queste quattro tavolette dovremmo descriverne il loro significato nel contesto della matematica babilonese.&nbsp;In primo luogo dobbiamo stare attenti a non sovrastimarne la matematica alla luce delle odierne conoscenze.&nbsp;Viceversa, dobbiamo stare attenti a non sottovalutarne il significato solo perché è stata prodotta da matematici che pensavano in modo molto diverso dai matematici odierni.&nbsp;Non è un problema capire che cos’è la tavoletta Yale YBC 7289. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<em>Un&nbsp;diagramma della tavoletta&nbsp;Yale</em>La tavoletta Yale ha un diagramma di un quadrato con 30 su un lato, sono disegnatele diagonali e vicino al centro sono scritte 1,24,51,10 e 42,25,35.&nbsp;Naturalmente questi numeri sono scritti in numeri babilonesi su base 60.&nbsp; I numeri babilonesi sono sempre ambigui e non abbiamo nessuna indicazione su dove finisce la parte intera e inizia la parte frazionaria.&nbsp;Supponendo che il primo numero sia 1;&nbsp;24,51,10 convertire questo in un decimale dà 1,414212963 mentre √2 = 1,414213562.&nbsp;Calcolare 30 × [1; 24,51,10] dà 42; 25,35 che è il secondo numero.&nbsp;La diagonale di un quadrato del lato 30 si trova moltiplicando 30 per l’approssimazione a √2.Questo mostra una buona comprensione del&nbsp;teorema&nbsp;di&nbsp;Pitagora.&nbsp;Tuttavia, ancora più significativa è la domanda su come i babilonesi abbiano trovato questa approssimazione molto buona a √2.&nbsp;Diversi autori, per esempio&nbsp;&nbsp;congetturano che i Babilonesi usassero un metodo equivalente al metodo di&nbsp;Heron&nbsp;.&nbsp;Il suggerimento è che iniziarono con un’ipotesi, diciamo&nbsp;<em>x</em>&nbsp;.&nbsp;Hanno quindi trovato&nbsp;<em>e</em>&nbsp;=&nbsp;<em>x&nbsp;</em>2&nbsp;– 2 che è l’errore.&nbsp;Poi(&nbsp;<em>x</em>&nbsp;–&nbsp;<em>e</em>&nbsp;/ 2&nbsp;<em>x</em>&nbsp;)&nbsp;2&nbsp;=&nbsp;<em>x&nbsp;</em>2&nbsp;–&nbsp;<em>e</em>&nbsp;+ (&nbsp;<em>e</em>&nbsp;/ 2&nbsp;<em>x</em>&nbsp;)&nbsp;2&nbsp;= 2 + (&nbsp;<em>e</em>&nbsp;/ 2&nbsp;<em>x</em>&nbsp;)&nbsp;2e avevano una migliore approssimazione in quanto se&nbsp;<em>e</em>&nbsp;è piccolo allora (&nbsp;<em>e</em>&nbsp;/ 2&nbsp;<em>x</em>&nbsp;)&nbsp;2&nbsp;sarà ancora più piccolo.&nbsp;Continuando il processo con questa migliore approssimazione a √2 si ottiene un’approssimazione ancora migliore e così via.&nbsp;Infatti, come sottolinea Joseph in [4], richiede solo due passaggi dell’algoritmo se si inizia con&nbsp;<em>x</em>&nbsp;= 1 per ottenere l’approssimazione 1; 24,51,10.I babilonesi produssero tavole di quadrati, infatti la loro intera comprensione della moltiplicazione fu costruita intorno al concetto di quadrato, quindi forse un approccio più ovvio per loro sarebbe stato fare due ipotesi, una alta e una bassa diciamo&nbsp;<em>a</em>&nbsp;e&nbsp;<em>b</em>&nbsp;.&nbsp;Prendiamo la loro media (&nbsp;<em>a</em>&nbsp;+&nbsp;<em>b</em>&nbsp;) / 2.&nbsp;Se il quadrato è maggiore di 2, allora sostituisci&nbsp;<em>b</em>&nbsp;con quello che vuoi, mentre se il quadrato è minore di 2, allora sostituisci a con (&nbsp;<em>a</em>+&nbsp;<em>b</em>&nbsp;) / 2.&nbsp;Continua con l’algoritmo. Ora questo certamente richiede molti più passi per raggiungere l’approssimazione sessagesimale 1, 24,51,10.&nbsp;Infatti, iniziando con&nbsp;<em>a</em>&nbsp;= 1&nbsp;<em>e b</em>&nbsp;= 2, ci vogliono 19 passaggi come mostrato nella tabella seguente: passo decimale sessagesimale1 1.500000000 1; 29,59,59<br>\n2 1.250000000 1; 14,59,59<br>\n3 1.375000000 1; 22,29,59<br>\n4 1.437500000 1; 26,14,59<br>\n5 1.406250000 1; 24,22,29<br>\n6 1,421875000 1; 25 , 18,44<br>\n7 1.414062500 1; 24,50,37<br>\n8 1.417968750 1;25,41<br>\n9 1,416015625 1; 24,57,39<br>\n10 1.415039063 1; 24,54, 8<br>\n11 1,414550781 1; 24,52,22<br>\n12 1.414306641 1; 24,51; 30<br>\n13 1.414184570 1; 24,51; 3<br>\n14 1.414245605 1; 24,51; 17<br>\n15 1.414215088 1; 24,51; 10<br>\n16 1.414199829 1; 24,51; 7<br>\n17 1.414207458 1; 24,51; 8<br>\n18 1.414211273 1; 24,51; 9<br>\n19 1.414213181 1; 24,51; 10Tuttavia, i babilonesi non erano spaventati dall’informatica e forse erano pronti a continuare questo semplice calcolo fino a quando la risposta fosse corretta al terzo posto sessagesimale.<em>Guardiamo di nuovo&nbsp;Plimpton 322</em>La tavola ha quattro colonne con 15 righe.&nbsp;L’ultima colonna è la più semplice da capire perché dà il numero di riga e quindi contiene 1, 2, 3, …, 15. Il fatto notevole che Neugebauer e Sachs hanno sottolineato in [1] è che in ogni riga il quadrato dà il numero&nbsp;<em>c</em>&nbsp;nella colonna 3 meno il quadrato del numero&nbsp;<em>b</em>&nbsp;nella colonna 2 è un quadrato perfetto, per esempio&nbsp;<em>h</em>&nbsp;.Quindi la tabella è una lista di tripli interi pitagorici.&nbsp;Ora questo non è del tutto vero poiché Neugebauer e Sachs credono che lo scriba abbia commesso quattro errori di trascrizione, due in ogni colonna e questa interpretazione è necessaria per far funzionare la regola.&nbsp;Gli errori sono prontamente visti come errori genuini, tuttavia, ad esempio 8,1 è stato copiato dallo scriba come 9,1.<em>c&nbsp;</em>2&nbsp;–&nbsp;<em>b&nbsp;</em>2&nbsp;=&nbsp;<em>h&nbsp;</em>2La prima colonna è più difficile da capire, soprattutto perché il danno alla tavoletta significa che manca una parte di essa.&nbsp;Tuttavia, usando la notazione di cui sopra, si vede che la prima colonna è solo (&nbsp;<em>c</em>&nbsp;/&nbsp;<em>h</em>&nbsp;)&nbsp;2&nbsp;.&nbsp;Fin qui tutto bene, ma se si scrivessero le terne pitagoriche si troverebbero molto più facili di quelli che appaiono sul tavolo.&nbsp;Per esempio la tripla 3, 4, 5 di Pitagora non appare né 5, 12, 13, e infatti la più piccola tripla pitagorica che appare è 45, 60, 75 (15 volte 3, 4, 5).&nbsp;Anche le righe non compaiono in alcun ordine logico tranne che i numeri nella colonna 1 diminuiscono regolarmente.&nbsp;L’enigma quindi è come sono stati trovati i numeri e perché questi particolari tripli pitagorici sono indicati nella tabella.Diversi storici (vedi per esempio [8]) hanno suggerito che la colonna 1 è connessa con la funzione secante.&nbsp;Tuttavia, come commenta Joseph [&nbsp;4&nbsp;]: –</p>\n<blockquote><em>Questa interpretazione è un po ‘fantasiosa.</em></blockquote>\n<p>Zeeman&nbsp;ha fatto un’osservazione affascinante.&nbsp;Ha sottolineato che se i Babilonesi usavano le formule&nbsp;<em>h</em>&nbsp;= 2&nbsp;<em>mn</em>&nbsp;,&nbsp;<em>b</em>&nbsp;=&nbsp;<em>m&nbsp;</em>2&nbsp;–&nbsp;<em>n&nbsp;</em>2&nbsp;,&nbsp;<em>c</em>&nbsp;=&nbsp;<em>m&nbsp;</em>2&nbsp;+&nbsp;<em>n&nbsp;</em>2&nbsp;per generare tripli pitagorici allora ci sono esattamente 16 tripli che soddisfano&nbsp;<em>n</em>&nbsp;≤ 60, 30 ° ≤&nbsp;<em>t</em>&nbsp;≤ 45 ° e tan&nbsp;2&nbsp;<em>t</em>&nbsp;=&nbsp;<em>h&nbsp;</em>2&nbsp;/&nbsp;<em>b&nbsp;</em>2&nbsp;aventi un’espansione finita sessagesimale (che è equivalente a&nbsp;<em>m</em>&nbsp;,&nbsp;<em>n</em>&nbsp;,&nbsp;<em>b</em>avere 2, 3 e 5 come loro primi divisori).&nbsp;Ora 15 dei 16 tripli pitagorici che soddisfano&nbsp;le condizioni di&nbsp;Zeeman&nbsp;appaiono in Plimpton 322. È il più antico teorema di classificazione matematica noto?&nbsp;Anche se non possiamo credere che&nbsp;Zeeman&nbsp;abbia ragione, crediamo che la sua spiegazione debba essere sulla strada giusta.Per dare una giusta discussione su Plimpton 322 dovremmo aggiungere che non tutti gli storici concordano sul fatto che questo tablet riguarda i tripli pitagorici.&nbsp;Per esempio Exarchakos, in [&nbsp;17&nbsp;], afferma che il tablet è connesso con la soluzione delle equazioni quadratiche e non ha nulla a che fare con le terne pitagoriche: –</p>\n<blockquote><em>… dimostriamo che in questa tavoletta non c’è alcuna prova che i babilonesi conoscessero il teorema di Pitagora e le triadi di Pitagora.</em></blockquote>\n<p>Sento che gli argomenti sono deboli, soprattutto perché ci sono numerose tavolette che mostrano che i babilonesi di questo periodo avevano una buona comprensione del&nbsp;teorema&nbsp;di&nbsp;Pitagora&nbsp;.&nbsp;Altri autori, pur accettando che Plimpton 322 è una raccolta di tripli pitagorici, hanno sostenuto di avere, come scrive Viola in [&nbsp;31&nbsp;], un uso pratico nel dare un:</p>\n<blockquote><em>… metodo generale per il calcolo approssimativo delle aree dei triangoli.</em></blockquote>\n<p>La tavoletta Susa pone un problema su un triangolo isoscele con lati 50, 50 e 60. Il problema è trovare il raggio del cerchio attraverso i tre vertici.<em>Ecco un&nbsp;diagramma del tablet Susa</em>Qui abbiamo definito il triangolo&nbsp;<em>A</em>&nbsp;,&nbsp;<em>B</em>&nbsp;,&nbsp;<em>C</em>&nbsp;e il centro del cerchio è&nbsp;<em>O</em>.&nbsp;L’&nbsp;<em>AD</em>&nbsp;perpendicolare&nbsp;viene disegnato da&nbsp;<em>A</em>&nbsp;per incontrare il lato&nbsp;<em>BC</em>&nbsp;.&nbsp;Ora il triangolo&nbsp;<em>ABD</em>&nbsp;è un triangolo ad angolo retto, quindi, usando&nbsp;il teorema di&nbsp;Pitagora&nbsp;<em>AD&nbsp;</em>2&nbsp;=&nbsp;<em>AB&nbsp;</em>2&nbsp;–&nbsp;<em>BD&nbsp;</em>2&nbsp;, quindi&nbsp;<em>AD</em>&nbsp;= 40. Lasciamo il raggio del cerchio uguale a&nbsp;<em>x</em>&nbsp;.&nbsp;Quindi&nbsp;<em>AO</em>&nbsp;=&nbsp;<em>OB</em>&nbsp;=&nbsp;<em>x</em>&nbsp;e&nbsp;<em>OD</em>&nbsp;= 40 –&nbsp;<em>x</em>.&nbsp;Usando di&nbsp;nuovo il teorema di&nbsp;Pitagora&nbsp;sul triangolo&nbsp;<em>OBD</em>&nbsp;avremo<em>x&nbsp;</em>2&nbsp;=&nbsp;<em>OD&nbsp;</em>2&nbsp;+&nbsp;<em>DB&nbsp;</em>2&nbsp;.Così<em>x&nbsp;</em>2&nbsp;= (40-&nbsp;<em>x</em>&nbsp;)&nbsp;2&nbsp;+ 30&nbsp;2ponendo&nbsp;<em>x&nbsp;</em>2&nbsp;= 40&nbsp;2&nbsp;– 80&nbsp;<em>x</em>&nbsp;+&nbsp;<em>x&nbsp;</em>2&nbsp;+ 30&nbsp;2&nbsp;quindi 80&nbsp;<em>x</em>&nbsp;= 2500 o, in sessagesimale,&nbsp;<em>x</em>&nbsp;= 31; 15.Infine, considera il problema della tavola Tell Dhibayi.&nbsp;Richiede i lati di un rettangolo la cui area è 0; 45 e la cui diagonale è 1; 15. Se i lati sono&nbsp;<em>x</em>&nbsp;,&nbsp;<em>y</em>&nbsp;abbiamo&nbsp;<em>xy</em>&nbsp;= 0.75 e&nbsp;<em>x&nbsp;</em>2&nbsp;+&nbsp;<em>y&nbsp;</em>2&nbsp;= (1.25)&nbsp;2&nbsp;.Sostituiremmo&nbsp;<em>y</em>&nbsp;= 0.75 /&nbsp;<em>x&nbsp;</em>nella seconda equazione per ottenere un quadratico in&nbsp;<em>x&nbsp;</em>2&nbsp;che è facilmente risolvibile.&nbsp;Questo tuttavia non è il metodo di soluzione dato dai Babilonesi e in realtà non è sorprendente poiché si basa pesantemente sulla nostra comprensione algebrica delle equazioni.&nbsp;Il modo in cui la tavoletta Tell Dhibayi risolve il problema è in realtà molto più interessante del metodo moderno.Ecco il metodo dalla tavola Tell Dhibayi.&nbsp;Noi preservare la moderna notazione&nbsp;<em>x</em>&nbsp;ed&nbsp;<em>y</em>&nbsp;come ogni passo per chiarezza, ma facciamo i calcoli in notazione sessagesimale.Calcola 2<em>xy</em>&nbsp;= 1; 30. Sottrai da&nbsp;<em>x&nbsp;</em>2&nbsp;+&nbsp;<em>y&nbsp;</em>2&nbsp;= 1; 33,45 per ottenere&nbsp;<em>x&nbsp;</em>2&nbsp;+&nbsp;<em>y&nbsp;</em>2&nbsp;– 2<em>xy</em>&nbsp;= 0; 3,45.Prendi la radice quadrata per ottenere&nbsp;<em>x</em>&nbsp;–&nbsp;<em>y</em>&nbsp;= 0; 15.Dividere per 2 per ottenere (&nbsp;<em>x</em>&nbsp;–&nbsp;<em>y</em>&nbsp;) / 2 = 0; 7,30.Dividi&nbsp;<em>x&nbsp;</em>2&nbsp;+&nbsp;<em>y&nbsp;</em>2&nbsp;– 2&nbsp;<em>xy</em>&nbsp;= 0; 3,45 per 4 per ottenere&nbsp;<em>x&nbsp;</em>2&nbsp;/4 +&nbsp;<em>y&nbsp;</em>2&nbsp;/4 –&nbsp;<em>xy</em>&nbsp;/ 2 = 0; 0,56,15.Aggiungi&nbsp;<em>xy</em>&nbsp;= 0; 45 per ottenere&nbsp;<em>x&nbsp;</em>2&nbsp;/4 +&nbsp;<em>y&nbsp;</em>2&nbsp;/4 +&nbsp;<em>xy</em>&nbsp;/ 2 = 0; 45,56,15.Prendi la radice quadrata per ottenere (&nbsp;<em>x</em>&nbsp;+&nbsp;<em>y</em>&nbsp;) / 2 = 0; 52,30.Aggiungi (&nbsp;<em>x</em>&nbsp;+&nbsp;<em>y</em>&nbsp;) / 2 = 0; 52,30 a (&nbsp;<em>x</em>&nbsp;–&nbsp;<em>y</em>&nbsp;) / 2 = 0; 7,30 per ottenere&nbsp;<em>x</em>&nbsp;= 1.Sottrai (&nbsp;<em>x</em>&nbsp;–&nbsp;<em>y</em>&nbsp;) / 2 = 0; 7,30 da (&nbsp;<em>x</em>&nbsp;+&nbsp;<em>y</em>&nbsp;) / 2 = 0; 52,30 per ottenere&nbsp;<em>y</em>&nbsp;= 0; 45.Quindi il rettangolo ha lati&nbsp;<em>x</em>&nbsp;= 1&nbsp;<em>e y</em>&nbsp;= 0; 45.Non è un bel pezzo di matematica!&nbsp;Ricorda che ha 3750 anni.&nbsp;Dovremmo essere grati ai babilonesi per aver registrato questo piccolo capolavoro su tavolette di argilla che possiamo apprezzare oggi.</p>\n<h4><em>Referenze</em></h4>\n<ol>\n  <li>http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Babylonian_mathematics.htm</li>\n  <li>K Muroi, Small canal problems of Babylonian mathematics,&nbsp;<em>Historia Sci.</em>&nbsp;(2)&nbsp;<strong>1</strong>&nbsp;(3) (1992), 173-180.</li>\n  <li>G G Joseph,&nbsp;<em>The crest of the peacock</em>&nbsp;(London, 1991).</li>\n  <li>A E Berriman, The Babylonian quadratic equation,&nbsp;<em>Math. Gaz.</em> <strong>40</strong>&nbsp;(1956), 185-192.</li>\n  <li>J Hoyrup, The Babylonian cellar text BM 85200+ VAT 6599. Retranslation and analysis,&nbsp;<em>Amphora</em>&nbsp;(Basel, 1992), 315-358.</li>\n  <li>A Aaboe,&nbsp;<em>Episodi della storia antica della matematica</em>&nbsp;(1964).</li>\n  <li>BL van der Waerden,&nbsp;<em>Science Awakening</em>&nbsp;(Groningen, 1954).</li>\n  <li>BL van der Waerden,&nbsp;<em>Geometry and Algebra in Ancient Civilizations</em>&nbsp;(New York, 1983).</li>\n  <li>R Calinger,&nbsp;<em>Una storia concettuale della matematica</em>&nbsp;(Upper Straddle River, NJ, 1999).&nbsp;G Ifrah,&nbsp;<em>Una storia universale di numeri: dalla preistoria all’invenzione del computer</em>&nbsp;(Londra, 1998)</li>\n  <li>GG Joseph,&nbsp;<em>The crest of the peacock</em>&nbsp;(Londra, 1991)O Neugebauer e A Sachs,&nbsp;<em>Mathematical Cuneiform Texts</em>&nbsp;(New Haven, CT., 1945).</li>\n  <li>R Calinger,&nbsp;<em>Una storia concettuale della matematica</em>&nbsp;(Upper Straddle River, NJ, 1999).&nbsp;G Ifrah,&nbsp;<em>Una storia universale di numeri: dalla preistoria all’invenzione del computer</em>&nbsp;(Londra, 1998).</li>\n  <li>J Friberg, Metodi e tradizioni della matematica babilonese.&nbsp;Plimpton 322, Triplette pitagoriche e equazioni dei parametri triangolari babilonesi,&nbsp;<em>Historia Mathematica&nbsp;</em><strong>8</strong>&nbsp;(1981), 277-318.</li>\n  <li>J Hoyrup, matematica babilonese, in I Grattan-Guinness (ed.),&nbsp;<em>Enciclopedia</em>&nbsp;computazionale&nbsp;<em>della storia e filosofia delle scienze matematiche</em>&nbsp;(Londra, 1994), 21-10</li>\n  <li>A Aaboe,&nbsp;<em>Episodi della storia antica della matematica</em>&nbsp;(1964).</li>\n  <li>R Calinger,&nbsp;<em>Una storia concettuale della matematica</em>&nbsp;(Upper Straddle River, NJ, 1999).</li>\n  <li>G Ifrah,&nbsp;<em>Una storia universale di numeri: dalla preistoria all’invenzione del computer</em>&nbsp;(Londra, 1998).</li>\n  <li>GG Joseph,&nbsp;<em>The crest of the peacock</em>&nbsp;(Londra, 1991).</li>\n  <li>O Neugebauer e A Sachs,&nbsp;<em>Mathematical Cuneiform Texts</em>&nbsp;(New Haven, CT., 1945).</li>\n  <li>BL van der Waerden,&nbsp;<em>Science Awakening</em>&nbsp;(Groningen, 1954).</li>\n  <li>BL van der Waerden,&nbsp;<em>Geometry and Algebra in Ancient Civilizations</em>&nbsp;(New York, 1983).</li>\n  <li>A Ahmad, su radice quadrata babilonese e vedica di 2,&nbsp;<em>Ganita Bharati&nbsp;</em><strong>16</strong>&nbsp;(1-4) 1994), 1-4.</li>\n  <li>C Anagnostakis e BR Goldstein, su un errore nella tavola babilonese dei tripli pitagorici,&nbsp;<em>Centauro&nbsp;</em><strong>18</strong>&nbsp;(1973/74), 64-66.</li>\n  <li>JK Bidwell, Algebra geometrica babilonese,&nbsp;<em>College Math.&nbsp;J.&nbsp;</em><strong>17</strong>&nbsp;(1) (1986), 22-31.</li>\n  <li>EM Bruins, problemi di Fermat nella matematica babilonese,&nbsp;<em>Janus&nbsp;</em><strong>53</strong>&nbsp;(1966), 194-211.</li>\n  <li>EM Bruins, On Plimpton 322. Numeri pitagorici nella matematica babilonese,&nbsp;<em>Nederl.&nbsp;Akad.&nbsp;Wetensch., Proc.&nbsp;</em><strong>52</strong>&nbsp;(1949), 629-632.</li>\n  <li>EM Bruins, triade pitagoriche in matematica babilonese,&nbsp;<em>matematica.&nbsp;Gaz.&nbsp;</em><strong>41</strong>&nbsp;(1957), 25-28.</li>\n  <li>EM Bruins, triade pitagoriche nella matematica babilonese.&nbsp;Gli errori su Plimpton 322,&nbsp;<em>Sumer&nbsp;</em><strong>11</strong>&nbsp;(1955), 117-121.</li>\n  <li>EM Bruins, Radici quadrate in matematica babilonese e greca,&nbsp;<em>Nederl.&nbsp;Akad.&nbsp;Wetensch.&nbsp;Proc.&nbsp;</em><strong>51</strong>&nbsp;(1948), 332-341.</li>\n  <li>M Caveing, La tablette babylonienne AO 17264 du Musée du Louvre e le problème des six frères,&nbsp;<em>Historia Math.&nbsp;</em><strong>12</strong>&nbsp;(1) (1985), 6-24.</li>\n  <li>TG Exarchakos, matematica babilonese e triade pitagoriche,&nbsp;<em>toro.&nbsp;Matematica greca.&nbsp;Soc.&nbsp;</em><strong>37</strong>&nbsp;(1995), 29-47.</li>\n  <li>D Fowler ed E Robson, approssimazioni della radice quadrata nella vecchia matematica babilonese: YBC 7289 nel contesto,&nbsp;<em>Historia Math.&nbsp;</em><strong>25</strong>&nbsp;(4) (1998), 366-378.</li>\n  <li>J Friberg, Metodi e tradizioni della matematica babilonese.&nbsp;II.&nbsp;Un vecchio testo del catalogo babilonese con equazioni per quadrati e cerchi,&nbsp;<em>J. Cuneiform Stud.&nbsp;</em><strong>33</strong>&nbsp;(1) (1981), 57-64.</li>\n  <li>J Friberg, Metodi e tradizioni della matematica babilonese: Plimpton 322, Tripli pitagorici e equazioni dei parametri del triangolo babilonese,&nbsp;<em>Historia Math.&nbsp;</em><strong>8</strong>&nbsp;(3) (1981), 277-318.</li>\n  <li>RJ Gillings, errore inspiegabile nella tavoletta cuneiforme babilonese, Plimpton 322,&nbsp;<em>australiano J. Sci.&nbsp;</em><strong>16</strong>&nbsp;(1953), 54-56.</li>\n  <li>RJ Gillings e CL Hamblin, tavole reciproche sessagesimali babilonesi,&nbsp;<em>Austral.&nbsp;J. Sci.&nbsp;</em><strong>27</strong>&nbsp;(1964), 139-141.</li>\n  <li>J Hoyrup, testo della cantina babilonese BM 85200+ VAT 6599: Retranslation and analysis, in&nbsp;<em>Amphora</em>&nbsp;(Basel, 1992), 315-358.</li>\n  <li>S Ilic, MS Petkovic e D Herceg, Una nota sull’algoritmo di radice quadrata babilonese e relative varianti,&nbsp;<em>Novi Sad J. Math.&nbsp;</em><strong>26</strong>&nbsp;(1) (1996), 155-162.</li>\n  <li>M Linton, triplette babilonesi,&nbsp;<em>toro.&nbsp;Inst.&nbsp;Matematica.&nbsp;Appl.&nbsp;</em><strong>24</strong>&nbsp;(3-4) (1988), 37-41.</li>\n  <li>K Muroi, Estrazione di radici cubiche nella matematica babilonese,&nbsp;<em>Centaurus&nbsp;</em><strong>31</strong>&nbsp;(3-4) (1988), 181-188.</li>\n  <li>K Muroi, Estrazione di radici quadrate nella matematica babilonese,&nbsp;<em>Historia Sci.&nbsp;</em>(2)&nbsp;<strong>9</strong>&nbsp;(2) (1999), 127-133.</li>\n  <li>K Muroi, Le espressioni di zero e di quadratura nel testo matematico babilonese VAT 7537,&nbsp;<em>Historia Sci.&nbsp;</em>(2)&nbsp;<strong>1</strong>&nbsp;(1) (1991), 59-62.</li>\n  <li>DJ de Solla Price, la tavoletta babilonese “Triangolo pitagorico”,&nbsp;<em>Centauro&nbsp;</em><strong>10</strong>&nbsp;(1964/1965), 1-13.</li>\n  <li>O Schmidt, On Plimpton 322: numeri pitagorici nella matematica babilonese,&nbsp;<em>Centauro&nbsp;</em><strong>24</strong>&nbsp;(1980), 4-13.</li>\n  <li>T Viola, nella lista dei tripli pitagorici (“Plimpton 322”) e su un possibile uso di essa nella vecchia matematica babilonese (italiana),&nbsp;<em>Boll.&nbsp;Storia Sci.&nbsp;Stuoia.&nbsp;</em><strong>1</strong>&nbsp;(2) (1981), 103-132.</li>\n</ol>\n</html>",
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title	Ripartiamo dai numeri
body	<html> <p><img src="http://www.scienceonline.it/wp-content/uploads/2018/01/Numeros_Ordinales-450x450.png" width="450" height="450"/></p> <p> Da bambini eravamo al centro dell’universo. Poi abbiamo scoperto di essere soli. Che problema abbiamo avuto? Ripartiamo dai numeri. Le cose sono numeri … e siamo circondati da numeri. Una cosa, due cose, tre cose …. e cosi via Ma la Natura ci costringe a chiamare le cose con un nome …. e qui comincia la prima frattura. I concetti diventano personali e abbiamo bisogno di verificare se è vero. Andiamo da un’amico e parliamo delle cose. Anche lui ci conferma che quella cosa è uguale alla mia cosa e nasce una nuova cosa …. Scopriamo che interagire non ci rende poi così soli …. e cominciamo a cercare amici.Tutte queste cose hanno un nome. Si chiamano Numeri. Andiamo dagli amici e giochiamo ….I numeri <strong>ordinali</strong> sono cose che hanno un ordine specifico e servono a dare un ordine a elementi o insiemi di cose o elementi. Gli ordinali sono numeri che esprimono una posizione di un elemento o un insieme di elementi in una sequenza ordinata.I numeri <strong>cardinali</strong>  servono a determinare le quantità in relazione a cose, animali o persone. La definizione dei numeri cardinali è che sono numeri che possono enunciare la quantità o la quantità di elementi in relazione ai numeri naturali e alla loro intera serie, compreso lo zero che indica una quantità nulla.A differenza dei numeri cardinali che rappresentano la <strong>quantità</strong>, i numeri ordinali rappresentano un <strong>ordine</strong>, e sono accompagnati da un nome, per esempio, se abbiamo una successione di quattro libri che dobbiamo leggere in ordine, avremmo prima il primo libro o libro, il secondo libro o secondo libro, il terzo libro o terzo libro e il quarto libro o quarto libro, tenendo conto che il libro nominale può andare prima o dopo il numero ordinale.I numeri ordinali hanno notazioni diverse, a volte sono espressi sotto forma di parole e in altri possono essere espressi sotto forma di figure. Un elenco dei primi numeri ordinali, la notazione numerica e la notazione letterale:Primo, primo o primo, primo …Secondo, secondo, secondo ….Terzo, terzo o terzo, terzo ….Il 21° è il ventunesimoC’è una classificazione di questi numeri e qui offriamo alcuni esempi di numeri cardinali a seconda della loro classificazione.I cardinali semplici sono quelli che non sono fusi per formare una singola parola, cioè, non hanno un prefisso o suffisso. Questa classificazione include cardinali da zero a quindici, anche multipli di dieci, come venti, trenta, quaranta, ecc. I cardinali centocinquecento cinquecento. Qui ci sono i primi quindici.<strong>Simbolo numericoNumeri cardinali</strong>0zero1Uno, uno o uno2due3tre4quattro5cinque6sei7sette8otto9nove10dieci11undici12dodici13tredici14quattordici15quindiciI numeri cardinali e quelli ordinali hanno somiglianze e differenze. Le somiglianze sono legate ai numeri naturali, ma la differenza è che i numeri cardinali servono per esprimere la quantità, mentre i numeri ordinali servono per esprimere l’ordine o la posizione di un elemento. Ad esempio, se 1 è “uno” nei numeri cardinali, questo stesso 1 sarà “primo” o “primo” nei numeri ordinali.Ciò significa che i numeri ordinali servono per enunciare la posizione in ordine in base alla loro relazione con i numeri naturali. E se 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10 sono rappresentati come numeri cardinali come uno, due, tre, quattro, cinque, sei, sette, otto, nove e dieci. Quindi sono rappresentati nei numeri ordinali come primo, secondo, terzo, quarto, quinto, sesto, settimo, ottavo, nono e decimo.Tuttavia, a volte vengono sostituiti da domande di sintassi, ad esempio: “era al sedicesimo piano” quando si può anche dire “era al piano sedici”.</p> <h5><strong>I numeri naturali</strong></h5> <p>I numeri naturali sono come quei numeri che permettono di contare gli elementi di un insieme. I numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 … sono numeri naturali. Va notato che questi erano i primi numeri di numeri usati dagli umani per contare gli oggetti.Questo tipo di numeri è illimitato, cioè ogni volta che aggiungi il numero uno a uno cedi il passo a un numero diverso.I due grandi usi dei numeri naturali sono, da un lato, per indicare la dimensione che presenta un insieme finito e d’altro, per spiegare la posizione che un dato elemento ha nel quadro di una sequenza ordinata.Inoltre, i numeri naturali, su richiesta di un gruppo, ci permettono di identificare o differenziare gli elementi presenti in esso. Ad esempio, in un’assistenza sociale, ciascun membro avrà un numero membro che lo distinguerà dal resto e che consentirà di non essere confuso con un altro e di avere accesso diretto a tutti i dettagli inerenti alla loro attenzione.C’è chi considera lo 0 come un numero naturale ma ci sono anche quelli che non lo fanno e lo separano da questo gruppo, la teoria degli insiemi lo sostiene mentre la teoria dei numeri lo esclude. I numeri naturali possono essere rappresentati in una linea retta e saranno ordinati dal più basso al più alto, ad esempio, se viene preso in considerazione lo zero, inizieranno a essere scritti dopo questo e alla destra di 0 o 1.Ma i numeri naturali appartengono a un insieme che li unisce, quello degli interi positivi e cioè perché non sono decimali o frazioni.Ora, per quanto riguarda le operazioni aritmetiche di base, addizione, sottrazione, divisione e moltiplicazione, è importante notare che i numeri che ci occupano sono un insieme chiuso per le operazioni di addizione e moltiplicazione, dato che quando si opera con esse, il Il risultato del lancio sarà sempre un altro numero naturale. Ad esempio: 3 x 4 = 12 / 20 + 13 = 33.Nel frattempo, questa stessa situazione non si applica alle altre due operazioni di divisione e sottrazione, poiché il risultato non sarà un numero naturale, ad esempio: 7 – 20 = -13 / 4 / 7 = 0,57.</p> <h5><strong>Storia dei numeri naturali</strong></h5> <p>Prima della nascita di numeri per rappresentare le quantità, l’uomo ha usato altri metodi per contare, usando oggetti come pietre , bastoni di legno, nodi corda, o solo le dita.Più tardi i simboli grafici cominciarono ad apparire come segni da contare, ad esempio segni su un bastone o colpi semplicemente specifici sulla sabbia (vedi l’osso di Ishango). Ma era in Mesopotamia intorno al 4000 aC. dove appaiono le prime forme di numeri che consistevano in incisioni di segnali sotto forma di zeppe su tavolette di creta usando per esso un bastone affilato.Da qui il nome della scrittura cuneiforme. Questo sistema di numerazione è stato adottato in seguito, anche se con diversi simboli grafici, nell’antica Grecia e nell’antica Roma. Nell’antica Grecia venivano semplicemente usate le lettere dell’alfabeto, mentre nell’antica Roma, oltre alle lettere, venivano usati anche alcuni simboli.</p> <blockquote><em>Chi pose</em> <em>l’insieme dei numeri naturali</em> <em>su ciò che stava iniziando ad essere una solida base, fu Richard Dedekind nel diciannovesimo secolo.</em></blockquote> <p>Tutto questo derivava da una serie di dichiarazioni (il che implica che l’esistenza della serie dei numeri naturali è stata presa per certo) che dopo Peano ha detto in una logica di secondo ordine, con conseguente i famosi cinque postulati che portano il suo nome. Frege era superiore a entrambi, dimostrando l’esistenza del sistema di numeri naturali basati su principi più forti.Sfortunatamente, la teoria di Frege ha perso, per così dire, la sua credibilità e si è dovuto trovare un nuovo metodo. È stato Zermelo a dimostrare l’esistenza dell’insieme di numeri naturali, all’interno della sua teoria degli insiemi e principalmente attraverso l’uso dell’assioma dell’infinito, che, con una modifica di questo fatta da Adolf Fraenkel, consente di costruire l’insieme di numeri naturali come ordinali secondo von Neumann.Alcune caratteristiche dei numeri naturali sono:</p> <blockquote><em>Qualsiasi numero maggiore di 1 (o maggiore di 0 se si considera 0 come naturale) segue un altro numero naturale.</em></blockquote> <p>Tra due numeri naturali c’è sempre un numero finito di naturali (interpretazione dell’insieme non denso). Dato un qualsiasi numero naturale, c’è sempre un altro naturale più grande di questo (interpretazione dell’insieme infinito). Tra il numero naturale e il suo successore  a + 1 non vi è alcun numero naturale.</p> <h5><strong>Operazioni con i numeri naturali</strong></h5> <p>Le operazioni matematiche definite nell’insieme di numeri naturali si chiamano <strong>addizione</strong> e <strong>moltiplicazione</strong>. L’addizione e la moltiplicazione dei numeri naturali sono operazioni commutative e associative, cioè:L’ordine dei numeri non altera il risultato (proprietà commutativa),<strong>a + b = b + a</strong>     e     <strong>a ×  b = b × a</strong>Si può associare due numeri in qualsiasi ordine (proprietà 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cosa significa.Hai pensato quale sia l’ultimo numero naturale? Semplicemente non esiste un numero naturale più grande di tutti gli altri, ogni volta che ne pensate uno, potete trovare molti che sono più grandi di lui, poiché non finiscono mai, diciamo che N(ℕ) è un insieme infinito.Ad esempio, prova a sottrarre 3 meno 8 , pensi che sia possibile rappresentare il risultato di questa operazione con un numero naturale? A causa della cosa precedente consideriamo sul set dei numeri naturali solo due operazioni: l’addizione e la moltiplicazione.I numeri naturali sono quelli che ci permettono di contare gli elementi di un dato insieme. Grazie a ciò, quando eseguiamo operazioni con loro, i risultati possono essere o meno numeri naturali.Se aggiungiamo due  </p> </html>
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Andiamo dagli amici e giochiamo ….I numeri <strong>ordinali</strong>&nbsp;sono cose che hanno un ordine specifico e servono a dare un ordine a elementi o insiemi di cose o elementi.&nbsp;Gli ordinali sono numeri che esprimono una posizione di un elemento o un insieme di elementi in una sequenza ordinata.I numeri <strong>cardinali</strong>&nbsp; servono a determinare le quantità in relazione a cose, animali o persone.&nbsp;La definizione dei numeri cardinali è che sono numeri che possono enunciare la quantità o la quantità di elementi in relazione ai numeri naturali e alla loro intera serie, compreso lo zero che indica una quantità nulla.A differenza dei&nbsp;numeri cardinali&nbsp;che rappresentano la <strong>quantità</strong>, i numeri ordinali rappresentano un <strong>ordine</strong>, e sono accompagnati da un nome, per esempio, se abbiamo una successione di quattro libri che dobbiamo leggere in ordine, avremmo prima il primo libro o libro, il secondo libro o secondo libro, il terzo libro o terzo libro e il quarto libro o quarto libro, tenendo conto che il libro nominale può andare prima o dopo il numero ordinale.I numeri ordinali hanno notazioni diverse, a volte sono espressi sotto forma di parole e in altri possono essere espressi sotto forma di figure.&nbsp;Un elenco dei primi numeri ordinali, la notazione numerica e la notazione letterale:Primo, primo o primo, primo …Secondo, secondo, secondo ….Terzo, terzo o terzo, terzo ….Il 21° è il ventunesimoC’è una classificazione di questi numeri e qui offriamo alcuni esempi di numeri cardinali a seconda della loro classificazione.I cardinali semplici sono quelli che non sono fusi per formare una singola parola, cioè, non hanno un prefisso o suffisso.&nbsp;Questa classificazione include cardinali da zero a quindici, anche multipli di dieci, come venti, trenta, quaranta, ecc. I cardinali centocinquecento cinquecento.&nbsp;Qui ci sono i primi quindici.<strong>Simbolo numericoNumeri cardinali</strong>0zero1Uno, uno o uno2due3tre4quattro5cinque6sei7sette8otto9nove10dieci11undici12dodici13tredici14quattordici15quindiciI numeri cardinali e quelli&nbsp;ordinali&nbsp;hanno somiglianze e differenze. 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